Inleiding

Even eerlijk zeggen: had je vanochtend toen je opstond gedacht dat je nu de inleiding van een boek over wiskunde, en over algebra in het bijzonder, zou zitten te lezen? Ik ben in ieder geval blij dat je dit leest, maar waarom eigenlijk? Eén van de meest gestelde vragen tijdens de wiskundeles luidt: ‘Waar is dit nu goed voor?’ Sommige leraren zijn in staat hierop een goed en overtuigend antwoord te geven. Andere staren naar de grond en draaien er maar wat omheen. Mijn favoriete antwoord luidt: ‘Algebra geeft je macht.’ Algebra geeft je de macht om je met grotere dingen binnen de wiskunde bezig te houden. Algebra geeft je het gevoel dat jij iets weet wat je buurman niet weet. Het stelt je ook in staat een ander te helpen met wiskundige problemen of de logica van wiskundige methoden uit te leggen. Het is een systeem van regels en symbolen dat universeel begrepen wordt, wat de gesproken taal ook is.

Dit boekje is niet geschreven als een detectiveroman met de clou aan het eind; je hoeft het niet van begin tot eind te lezen. Je kunt gewoon even spieken hoe het boek eindigt, zonder de rest van het verhaal te verpesten. Dit boek is verdeeld in een aantal algemene onderwerpen, van de grondbeginselen tot belangrijke methoden zoals het ontbinden in factoren, vergelijkingen en grafieken. Ik heb geprobeerd veel voorbeelden te gebruiken, telkens weer een beetje anders, om zo elke keer een iets andere draai aan het onderwerp te geven. Om je te helpen deze voorbeelden goed te begrijpen worden ze stuk voor stuk duidelijk uitgelegd. Het taalgebruik in dit boek is zowel begrijpelijk als wiskundig correct. Ik hoop dat je naast het hoe, het waarom zult leren. Vaak is het makkelijker iets te onthouden als je begrijpt waarom het zo werkt, dan wanneer je een betekenisloze volgorde van te doorlopen stappen uit je hoofd leert.

Over dit boek

Als je hulp kunt gebruiken met de basisregels van de algebra, dan kun je deze informatie in de eerste drie hoofdstukken van het boek vinden. Je kunt deze basisregels zien als de recepten die een kok nodig heeft. Je kunt geen soufflé bereiden zonder te weten dat je de eieren moet kloppen en dat je de oven op 200 graden moet zetten. Een goede voorbereiding is de basis voor het succes later. Het kan natuurlijk zijn dat je deze basisvaardigheden al onder de knie hebt. Fantastisch!

Na hoofdstuk 4 en 5 over variabelen en het wegwerken van haakjes, besteed ik in hoofdstuk 6 aandacht aan het ontbinden in factoren. In feite is dat niet veel meer dan het uiterlijk van een vergelijking veranderen. En in de ontbonden vorm wordt alles met elkaar vermenigvuldigd. Kijk maar eens welke van de technieken om te ontbinden in factoren je zou moeten opfrissen als je in de problemen komt met het oplossen van opgaven. En nu vraag je je misschien af waar de vergelijkingen blijven. Wees gerust, die komen in hoofdstuk 7 uitgebreid aan bod.

Verder is geen wiskundeboek compleet zonder te spreken over wiskundige toepassingen. Die vind je dan ook in hoofdstuk 9, waar een aantal veelvoorkomende formules worden besproken. In hoofdstuk 10 maken we de wiskunde zichtbaar, en dat doe je natuurlijk met behulp van grafieken. Tot slot is geen enkel Voor Dummies-boek compleet zonder een handige top 10-lijst. Daarom vind je in hoofdstuk 11 tien tips om lastige wiskundige vraagstukken op te lossen.

Goede gewoonten

Je zult twee manieren tegenkomen om getallen weer te geven: in de beschrijvingen worden getallen onder de twintig en wiskundige bewerkingen (plusteken, minteken enzovoort) voluit geschreven. In sommen en voorbeelden gebruik ik echter de cijfers en symbolen. Dat is meestal makkelijker te lezen. Specifieke wiskundige termen worden schuingedrukt en uitgelegd. Om dingen duidelijk te maken, geef ik instructies vaak stap voor stap. Eerst leg ik dan de stappen in het algemeen uit en die licht ik vervolgens toe aan de hand van een aantal voorbeelden, zodat je een goed beeld krijgt van hoe de stappen in verschillende situaties gebruikt worden.

Let op deze pictogrammen

De rare kleine tekeningetjes die je in de kantlijn van dit boek ziet, maken je attent op bepaalde stukken tekst. De pictogrammen die ik in dit boek gebruik, zijn:

Dit zijn de basisregels van de wiskunde (of van de algebra in het bijzonder), die je in acht moet nemen om ervoor te zorgen dat alles klopt. Je kunt ze eenvoudigweg niet veranderen of negeren.

In deze paragrafen, vaak in grijze kaderteksten, kom je feitjes tegen die je misschien interessant vindt, maar die je verder niet hoeft te weten. Deze weetjes zijn onbelangrijk, maar ze maken de wiskunde wat minder onpersoonlijk en abstract.

Deze paragrafen verduidelijken een symbool of een methode. Soms bespreek ik het onderwerp ook in een ander deel van het boek, of soms herinner ik je alleen aan een algemene wiskundige regel. Als het al een tijdje geleden is dat je naar school bent geweest, kom je er misschien achter dat de naam van sommige methoden is veranderd.

Hier vind je een definitie of een verduidelijking van een bepaalde stap in een methode, een technische term of een uitdrukking.

De informatie die je naast dit pictogram vindt, is niet van levensbelang, maar kan wel helpen het leven wat gemakkelijker te maken. Dat wil zeggen, je leven in de wiskunde althans.

Dit pictogram waarschuwt je voor iets wat erg lastig kan zijn. Er worden veel fouten gemaakt bij de methode of het onderwerp dat naast dit pictogram besproken wordt. Vandaar dat ik je op deze manier om extra aandacht vraag.

Vreemde veronderstellingen

Ik ga er niet van uit dat je net zo gek bent op wiskunde als ik; misschien ben je er nog wel gekker op! Ik ga er wel van uit dat je een doel voor ogen hebt; je vaardigheden wat bijspijkeren, je geheugen wat opfrissen of gewoon een leuk boekje lezen. Ik neem ook aan dat je al wel eens wat ervaring hebt opgedaan met wiskunde. Een jaartje wiskunde op school bijvoorbeeld, of misschien een cursus die je lang geleden hebt gevolgd, of misschien ben je alleen met enkele concepten in aanraking gekomen. Als je in Nederland of België naar school bent geweest, heb je waarschijnlijk algebra gehad in de lessen wiskunde. Waarschijnlijk kun je net als ik ook nog wel je eerste (of enige) wiskundeleraar herinneren. Ik herinner me nog wel dat Meneer Schaffelaar zei: ‘Dit is een n.’ Mijn hele wereld van getallen die ik kende stortte plotseling in elkaar. Misschien verdiep je je nu opnieuw in de wiskunde om die lang geleden opgedane kennis weer wat op te frissen. Welkom in de wereld van de wiskunde! Geniet ervan!

Hoofdstuk 1

Rekenen met getallen en letters

In dit hoofdstuk:

De basiseenheden: getallen

De belangrijkste spelers: variabelen en tekens

Negatieve en positieve getallen

Wat doe je met getallen met een voorteken?

Laten we eerst even stilstaan bij de vraag wat algebra eigenlijk precies is. In een notendop is algebra een algemenere manier om de rekenkunde uit te drukken. Door gebruik te maken van variabelen, die elke willekeurige waarde kunnen aannemen in een formule, kunnen deze algemene formules toegepast worden op alle getallen. De algebra gebruikt positieve en negatieve getallen, gehele getallen, breuken, operatoren en symbolen om de relaties tussen waarden te analyseren. Het is een systematische benadering om de relaties tussen getallen weer te geven en daarbij geldt een aantal specifieke regels.

De symbolen ontcijferen

De bouwstenen van de algebra worden uitgedrukt in symbolen. De algebra gebruikt symbolen voor hoeveelheden, bewerkingen, verbanden of verzamelingen. De symbolen zijn een verkorte notatie en zijn veel handiger in gebruik dan het uitschrijven van hun betekenis in woorden. Maar je moet natuurlijk wel weten wat de symbolen betekenen en de volgende lijst vertelt je dat.

+ betekent optellen, plus of vermeerderd met; het resultaat van de optelling wordt de som genoemd.

− betekent aftrekken, min, of verminderd met; het resultaat wordt het verschil genoemd.

× betekent vermenigvuldigen, maal, of keer. De waarden die met elkaar vermenigvuldigd worden, worden factoren genoemd: het resultaat wordt het product genoemd. Andere symbolen die voor vermenigvuldiging worden gebruikt, zijn haakjes zoals (), [ ], { } en ook · en *. Het symbooĺ wordt in de wiskunde niet zo vaak gebruikt omdat het gemakkelijk verward wordt met de variabele x. De punt is wel populair, omdat die makkelijk te schrijven is. De haakjes gebruik je wanneer je met verschillende termen of met een ingewikkelde uitdrukking werkt. Op zichzelf hebben de haakjes niet de betekenis van vermenigvuldiging, maar als je er een waarde voor zet, betekent dat dat je moet vermenigvuldigen. Blader verder naar de paragraaf ‘Groeperen’ voor meer informatie over het gebruik van haakjes.

÷ betekent delen door. Het getal in de noemer is de deler. Het resultaat wordt het quotiënt genoemd. Andere symbolen die delen aangeven zijn de deelstreep en het schuine streepje (solidus), /.

betekent de vierkantswortel trekken (ook vaak gewoon worteltrekken genoemd) uit een getal: dat wil zeggen, het getal vinden dat vermenigvuldigd met zichzelf het getal onder het wortelteken geeft (zie hoofdstuk 3 voor meer over vierkantswortels).

|| betekent het bepalen van de absolute waarde van een getal. Dit is het getal zelf of de afstand van het getal tot nul op de getallijn.

. . . betekent enzovoort, et cetera, of volgens hetzelfde patroon. In de wiskunde gebruik je de puntjes om een lange lijst getallen aan te duiden, die je niet helemaal wilt uitschrijven. Als je bijvoorbeeld een lijst met getallen wilt weergeven die bij 1 begint en oneindig doorloopt, dan schrijf je ‘1, 2, 3, 4, . . .’ Of je kunt de rij getallen van 600 tot 1000 schrijven als ‘601, 602, 603, . . ., 1000’.

π is de Griekse letter pi die staat voor het irrationale getal 3,14159. . . Dit getal geeft het verband tussen de diameter en de omtrek van een cirkel weer.

In de algebra gaat het om relaties: niet om liefdesrelaties, maar om verbanden tussen getallen of tussen de termen in een vergelijking. Hoewel relaties in de algebra net zo ingewikkeld kunnen zijn als romantische relaties, kunnen algebraïsche relaties altijd logisch verklaard worden, zodat je ze met een beetje geluk altijd kunt begrijpen. De symbolen die gebruikt worden om de verbanden aan te geven, worden hierna opgesomd.

= betekent dat de eerste waarde gelijk is aan, oftewel hetzelfde is als, de waarde die volgt.

≠ betekent dat de eerste waarde niet gelijk is aan de waarde die volgt.

Het begin van het =−teken

Robert Recorde gebruikte het =−teken voor het eerst in het midden van de zestiende eeuw. Hij schreef: ‘Zoals ik vaker doe in mijn geschriften, zal ik een paar evenwijdige streepjes van gelijke lengte, dus ==, gebruiken, omdat er geen twee meer gelijke dingen zijn.’ Niet alle wiskundigen accepteerden het gelijkteken echter meteen. Sommige van hen gaven de voorkeur aan twee rechtopstaande evenwijdige streepjes. Een symbool dat lijkt op de Griekse alfa (α) maar dan met langere ‘staartjes’, was ook lange tijd erg populair. Tegen het midden van de zeventiende eeuw werd het gelijkteken algemeen geaccepteerd.

≈ betekent dat de ene waarde ongeveer gelijk is aan de waarde die volgt. Deze notatie wordt soms gebruikt wanneer er met afgeronde getallen wordt gewerkt.

≤ betekent dat de eerste waarde kleiner is dan of gelijk is aan de waarde die volgt.

Aha, algebra!

Beginnend bij de Babyloniërs, zo’n 2000 jaar voor Christus, heeft de wiskunde zich in verschillende culturen op enigszins verschillende manieren ontwikkeld. De Babyloniërs hielden zich bezig met het oplossen van kwadratische vergelijking met drie termen, terwijl de Egyptenaren zich meer toelegden op lineaire vergelijkingen. Verdere vooruitgang werd in de zesde eeuw na Christus geboekt door de hindoes. In de zevende eeuw bedacht Brahmagupta in India algemene oplossingen voor kwadratische vergelijkingen. Bovendien had hij interessante inzichten in het getal nul. De hindoes beschouwden imaginaire getallen als werkelijke getallen en lang niet iedereen geloofde daar in die tijd in.

Alhoewel er in die tijd geen ingewikkelde telecommunicatienetwerken waren zoals nu, slaagden deze vroege beschavingen er toch in informatie uit te wisselen. In het jaar 825 na Christus schreef al-Khowarizmi in Bagdad het eerste boek over wiskunde. Eén van de eerste oplossingen voor een wiskundig probleem staat echter geschreven op een Egyptisch stuk papyrus van zo’n 3500 jaar oud. Het staat bekend als het Rhind-papyrus, genoemd naar de Schot die het 30 cm brede en 6 meter lange stuk papyrus in 1858 in Egypte kocht. Tegenwoordig bevindt het zich in het British Museum in Londen en een gedeelte ervan wordt bewaard in het Brooklyn Museum in New York. Wetenschappers hebben ontdekt dat de Egyptische schrijver Ahmes in 1650 v.C. oudere wiskundige teksten overschreef op het Rhind-papyrus.

Een van de opgaven luidt als volgt: ‘Aha, het is geheel, het is een zevende, het geeft 19.’ Let erop dat ‘aha’ hier geen uitroep is, maar een aanduiding voor de onbekende. Kun jij deze oude Egyptische opgave oplossen? In onze wiskundige symbolen zou die er zo uitzien: . De onbekende wordt weergegeven als x en de oplossing is . Dat is niet moeilijk, het is alleen even stoeien.

< betekent dat de eerste waarde kleiner is dan de waarde die volgt.

≥ betekent dat de eerste waarde groter is dan of gelijk is aan de waarde die volgt.

> betekent dat de eerste waarde groter is dan de waarde die volgt.

Groeperen

Wanneer je haakjes of andere symbolen ziet die termen groeperen, weet je dat je eerst de termen binnen de haakjes moet behandelen voordat je met het grotere geheel aan de slag kunt.

De belangrijkste symbolen om termen te groeperen zijn:

() haakjes (Deze worden het meest gebruikt.)

[ ] vierkante haakjes

{ } accolades

In de uitdrukking 8 − (4 − 2) moet je bijvoorbeeld eerst doen wat er binnen de haakjes staat. Dat is verschillend van (8 − 4) − 2. De eerste uitdrukking levert 6 op, de tweede levert 2 op.

Positieve en negatieve getallen

Getallen hebben vele eigenschappen: ze kunnen groot zijn of klein, even, oneven, geheel, gebroken, positief, negatief en soms zelfs koel en afstandelijk. Dat laatste is natuurlijk maar een grapje. We concentreren ons nu op één van hun eigenschappen: hun positieve of negatieve aard. Je leert hoe je optelt, aftrekt, vermenigvuldigt en deelt met getallen met een teken ervoor, of de getallen nu allemaal hetzelfde voorteken hebben of dat ze allemaal door elkaar heen staan.

De positieve getallen er uitpikken

Positieve getallen zijn meer, groter of hoger dan nul. Ze staan aan de andere kant van nul ten opzichte van de negatieve getallen. Als je een potje touwtrekken organiseert tussen de positieve en de negatieve getallen, dan staan de positieve getallen rechts van nul, zoals figuur 1.1 laat zien.

Figuur 1.1: Enkele positieve getallen op een rijtje

Positieve getallen worden steeds groter naarmate ze verder van 0 verwijderd liggen: 81 is groter dan 25 omdat het verder van 0 af ligt. Het kookpunt van ijzer, 2861°C, ligt verder van 0 dan 1538°C, de temperatuur waarbij ijzer vloeibaar wordt. Beide zijn positieve getallen, al lijkt de een meer positief dan de ander.

Twee getallen zijn tegengesteld aan elkaar als hun som gelijk is aan 0, a + (−a) = 0. Tegengestelde getallen liggen op een getallijn altijd even ver van 0 af, maar wel in tegengestelde richting. Het tegengestelde van −6 is bijvoorbeeld +6; het tegengestelde van + is −

Negatieve getallen zijn zo slecht nog niet

Negatieve getallen zijn kleiner dan nul. Op een lijn met nul in het midden, liggen de negatieve getallen aan de linkerkant, zoals je ziet in figuur 1.2.

Figuur 1.2: Negatieve getallen op een rijtje links van nul

Negatieve getallen worden steeds kleiner naarmate ze verder weg liggen van 0. Dat klinkt misschien wat verwarrend, want je zou kunnen denken dat −200 groter is dan −12. Maar denk dan gewoon aan −200°C en −12°C. Als je −12°C al onaangenaam vindt, denk dan maar niet aan −200°C: kouder, lager, kleiner.

Voor negatieve getallen geldt dat het getal dat het dichtst bij nul ligt, het grootste getal is.

Positieve en negatieve getallen vergelijken

Hoewel mijn moeder me altijd vertelde mezelf niet te vergelijken met anderen, is het vaak wel nuttig om getallen met elkaar te vergelijken. En als je getallen vergelijkt, zijn de symbolen voor groter dan (>) en kleiner dan (<) erg handig. In tabel 1.1 heb ik ze daarom gebruikt om enkele positieve en negatieve getallen in hun perspectief te plaatsen.

Tabel 1.1: Positieve en negatieve getallen vergeleken
Vergelijking | Wat het betekent
6 > 2 | 6 is groter dan 2; 6 ligt verder van 0 af dan 2.
10 > 0 | 10 is groter dan 0; 10 is positief en is groter dan 0.
−5 > −8 | −5 is groter dan −8; −5 ligt dichter bij 0 dan −8.
−300 > −400 | −300 is groter dan −400.
0 > −6 | −6 is negatief en kleiner dan 0.
7 > −80 | Positieve getallen zijn altijd groter dan negatieve getallen.

Als je de getallen 6, −2, −18, 3, 16 en −11 dus van klein naar groot in volgorde wilt zetten, dan krijg je −18, −11, −2, 3, 6 en 16. De punten op de getallijn in figuur 1.3 geven deze volgorde aan.

Focus op nul

Maar hoe zit het met nul? Om getallen te vergelijken heb ik telkens gekeken hoe ver ze van nul af liggen. Is nul nu positief of negatief?

Figuur 1.3: Positieve en negatieve getallen op een getallijn

Het antwoord is geen van beide. Nul is het enige getal dat noch positief noch negatief is. De nul scheidt de positieve van de negatieve getallen. Ga er maar aan staan!

Bewerkingen op getallen met een voorteken

Wanneer je in een groot gebouw met vier verdiepingen en ook nog vijf kelderverdiepingen bent, kun je je lekker vermaken in de lift. Als je vanaf de derde kelderverdieping vijf verdiepingen omhoog gaat, kom je uit op de tweede verdieping.

Getallen met hetzelfde voorteken optellen

Laten we, nu we getallen met een voorteken gaan optellen, met het gemakkelijkste geval beginnen: getallen met hetzelfde voorteken. Kijk wat er gebeurt:

Je hebt 3 appels en je vriend geeft je er nog 4.

(+3) + (+4) = +7

Nu heb je 7 appels.

Je was Jan € 8 schuldig en je moet nog € 2 van hem lenen.

(−8) + (−2) = −10

Nu bedraagt je schuld € 10.

Wanneer de voortekens hetzelfde zijn, krijg je de som en het voorteken van de som is hetzelfde als dat van de opgetelde getallen.

Deze regel is geldig voor elk willekeurig paar reële getallen a en b:

(+a) + (+b) = +(a + b)

(−a) + (−b) = -(a + b)

Stel dat je −3 en −2 bij elkaar optelt. De voortekens zijn hetzelfde, dus moet je de som van 2 en 3 bepalen, 5 dus. Het voorteken van de som is hetzelfde als de voortekens van −2 en −3, dus de som is ook negatief.

Bekijk deze voorbeelden eens:

(+8) + (+11) = +19. De voortekens zijn allemaal positief.

(−14) + (−100) = −114. Het voorteken van de som is hetzelfde als dat van de opgetelde getallen.

(+4) + (+7) + (+2) = +13. Omdat alle getallen positief zijn, kun je ze optellen en de som ook positief maken.

(−5) + (−2) + (−3) + (−1) = −11. Nu zijn alle voortekens negatief, dus kun je ze optellen en het antwoord van een minteken voorzien.

Getallen met hetzelfde voorteken optellen is een koud kunstje!

Getallen met verschillende voortekens optellen en aftrekken

Kun je ook getallen met verschillende voortekens optellen? Jazeker, dat gaat heel goed. Je moet alleen weten hoe dat in zijn werk gaat en in deze paragraaf leer ik je dat.

Kijk wat er gebeurt wanneer je positieve en negatieve getallen optelt:

Je had € 20 in je portefeuille en gaf € 12 uit voor een bioscoopkaartje.

(+20) + (−12) = +8

Nadat de rekening betaald is, heb je nog € 8 over.

Ik heb € 20, maar het kost me € 32 om mijn auto vol te tanken.

(+20) + (−32) = −12

Ik zal € 12 moeten lenen om mijn auto vol te kunnen gooien.

De volgende voorbeelden laten nog enkele combinaties zien:

(+6) + (−7) = −1. Het verschil tussen 6 en 7 is 1. 7 ligt verder van 0 dan 6, dus het antwoord is −1.

(−6) + (+7) = +1. Nu is de 7 positief. Hij ligt nog steeds verder van 0 dan de 6. Het antwoord is daarom nu +1.

(−4) + (+3) + (+7) + (−5) = +1. Als je de getallen in de volgorde van links naar rechts optelt (hoewel de volgorde van optellen er niet toe doet), tellen de eerste twee getallen op tot −1. Tel dat op bij het volgende getal en je krijgt +6. Wanneer je dat optelt bij het laatste getal, krijg je +1.

Wanneer je getallen met een voorteken van elkaar aftrekt, verander dan het minteken in een plusteken en verander het getal waar het minteken voor stond in zijn tegengestelde. Vervolgens tel je de getallen gewoon op volgens de regels voor het optellen van getallen met een voorteken.

(+a) − (+b) = (+a) + (−b)

(+a) − (−b) = (+a) + (+b)

(−a) − (+b) = (−a) + (−b)

(−a) − (−b) = (−a) + (+b)

Getallen met een voorteken vermenigvuldigen en delen

Vermenigvuldigen en delen van getallen met een voorteken zijn heel gemakkelijke bewerkingen. Als je gewoon kunt vermenigvuldigen en delen, zijn de bewerkingen niet alleen eenvoudig, ze zijn ook voor beide bewerkingen hetzelfde.

Wanneer je twee getallen met een voorteken vermenigvuldigt of deelt, geldt er: als de twee voortekens hetzelfde zijn, is de uitkomst positief en als de twee voortekens verschillend zijn, is de uitkomst negatief:

(+a) × (+b) = +ab(+a) ÷ (+b) = +(a÷b)

(+a) × (−b) = −ab(+a) ÷ (−b) = −(a÷b)

(−a) × (+b) = −ab(−a) ÷ (+b) = −(a÷b)

(−a) × (−b) = +ab(−a) ÷ (−b) = +(a÷b)

Let op in welke gevallen de uitkomst positief is en in welke gevallen ze negatief is. Je ziet ook dat vermenigvuldigen en delen gaat zoals gewoonlijk, op de plus- en mintekens na. Bekijk nu de volgende voorbeelden eens:

(−8) × (+2) = −16

(−5) × (−11) = +55

(+24) ÷ (−3) = −8

(−30) ÷ (−2) = +15

Je kunt deze bewerkingen ook door elkaar heen gebruiken zodat je verschillende vermenigvuldigingen of delingen, of een combinatie daarvan, kunt uitvoeren. Hierbij gebruik je de even-onevenregel.

De even-onevenregel stelt: wanneer je een aantal getallen vermenigvuldigt en deelt, tel dan het aantal negatieve getallen om het uiteindelijke voorteken te bepalen. Een even aantal negatieve getallen betekent dat de uitkomst positief is. Een oneven aantal negatieve getallen betekent dat de uitkomst negatief is. De volgende voorbeelden laten zien hoe dat in zijn werk gaat.

(+2) × (−3) × (+4) = −24: deze opgave heeft slechts één negatief getal. Omdat 1 een oneven getal is, is de uitkomst negatief.

(+2) × (−3) × (+4) × (−1) = +24: 2 negatieve getallen geven een positieve uitkomst, omdat 2 even is.

(+4) × (−3) / (−4) = +3: een even aantal mintekens geeft een positieve uitkomst.

Nu kun je eindelijk aan je moeder uitleggen dat twee fouten soms toch een goed resultaat geven.