Er zijn veel boeken die uitleggen wat we weten over het heelal. Dit boek beschrijft wat we nooit zullen weten, niet omdat we beperkt worden door kennis of techniek, maar omdat het onmogelijk is om te begrijpen. Vragen als: Wat was er vóór de tijd? Wat is er achter de ruimte? Waarom is oneindigheid een relatief begrip? En als iets oneindig groot is, waarom past daar dan nog iets bij? Of het nu op het gebied van taal of filosofie is, van natuurkunde of sterrenkunde: we lopen steeds op dezelfde manier vast in onze redenering. Zo loop je tegen de grenzen aan van wat een mens kan begrijpen, en kom je dichter bij het wezen van het menselijk bewustzijn. Dat wat we niet begrijpen, laat zien wie we zijn.

==

Noson S. Yanofsky

Wat je brein te boven gaat

DE GRENZEN VAN WETENSCHAP, WISKUNDE EN LOGICA

Vertaald door Robert Vernooy

==

Uitgeverij Atlas Contact

Amsterdam/Antwerpen

© 2013 Noson S. Yanofsky

© 2014 Nederlandse vertaling Robert Vernooy

Oorspronkelijke titel The Outer Limits of Reason

Oorspronkelijke uitgeverij MIT Press

Omslagontwerp Zeno

Omslagbeeld Luis Argerich/Stocktrek Images

E-book Perfect Service

==

ISBN 978 90 450 2743 2

==

NUR 600

==

www.atlascontact.nl

==

Dit e-book werd gemaakt op basis van de eerste druk, 2014, ISBN 978 90 450 2742 5.

Voor Shayna Leah, Hadassah en Rivka

Voorwoord

Hoe meer we over de wereld te weten komen, en hoe meer onze studie zich verdiept, des te bewuster, specifieker en helderder zal onze kennis worden van wat wij niet weten, onze kennis van onze onwetendheid.

– Karl Popper

==

Een man moet zijn beperkingen kennen.

– Harry Callahan, Magnum Force (1973)

==

Alles moet zo eenvoudig mogelijk gemaakt worden, maar niet eenvoudiger dan dat.

– Toegeschreven aan Albert Einstein

==

Inzicht brengt ambivalentie met zich mee. Zodra we iets weten, vinden we het dikwijls saai en banaal. Het mysterieuze en onbekende fascineren ons daarentegen en houden onze aandacht vast. Wat wij niet weten of begrijpen, is wat ons interesseert, en wat wij níét kunnen weten intrigeert ons des te meer. Dit boek gaat over onderwerpen die wij met de rede niet kunnen doorgronden omdat zij de rede te boven gaan.

Er zijn veel boeken over de verbazingwekkende feiten die de wetenschap, de wiskunde en de rede ons onthuld hebben. Er zijn ook boeken over onderwerpen die door de wetenschap, de wiskunde en de rede niet volledig verklaard zijn. Dit boek is een beetje anders. Hier bestuderen wij wat met behulp van de wetenschap, de wiskunde en de rede niet onthuld kán worden. Wat kan er niet voorspeld of geweten worden? Wat zal er nooit begrepen worden? Wat zijn de beperkingen van computers, de natuurkunde, de logica en onze denkprocessen? Wat ligt buiten de grenzen van de rede? Dit boek wil een aantal van deze vragen beantwoorden en bevat veel ideeën die vraagtekens zetten bij onze diepgewortelde overtuigingen omtrent het universum, onze rationaliteit en onszelf.

Daarbij zullen we simpele computerproblemen bestuderen waarvan de oplossing talloze eeuwen zou kosten; stilstaan bij perfecte zinnen die geen betekenis hebben; verschillende niveaus van oneindigheid leren kennen; ons in de bizarre en wonderbaarlijke wereld van het kwantum storten; specifieke problemen bespreken die computers nooit kunnen oplossen; kennismaken met vlinders die sneeuwstormen veroorzaken; nadenken over deeltjes die op verschillende feestjes tegelijk dansen; horen over paradoxen en zelfreferentiële paradoxen; kijken wat de relativiteitstheorie ons vertelt over onze naïeve opvattingen van ruimte, tijd en causaliteit; Gödels beroemde stellingen over de beperkingen van de logica begrijpen; bepaalde problemen in de wis- en natuurkunde ontdekken die onoplosbaar zijn; de aard van de wetenschap, de wiskunde en de rede verkennen; ons afvragen waarom het heelal perfect lijkt voor mensen; en de complexe relatie tussen onze geest, de rede en het tastbare universum onderzoeken. We zullen ook proberen om een blik over de grenzen van de rede te werpen en te kijken wat zich daar eventueel bevindt. Deze en vele andere fascinerende onderwerpen zullen op een duidelijke en overzichtelijke manier gepresenteerd worden.

Als we deze verschillende beperkingen op diverse gebieden bestuderen, zullen we zien dat veel van de beperkingen een soortgelijk patroon hebben. Die patronen zullen onderzocht worden om de structuur van de rede en haar beperkingen beter te begrijpen.

Dit boek is geen compendium van alle verschillende beperkingen van de rede. Ons doel is veeleer om te begrijpen hoe die grenzen ontstaan en waarom de rede daar niet overheen kan gaan. Op elk gebied worden representatieve beperkingen geselecteerd en uitgebreid besproken.

Ik wil de beperkingen niet slechts opsommen, maar vooral verklaren of althans een idee geven waarom een bepaald gebied voorbij de grenzen van de rede ligt. Het is belangrijk te beseffen dat dit boek niet speculatief wil zijn of een newage-oriëntatie wil hebben. Evenmin is het een geschiedenisboek waarin ik de betekenis van ideeën wil verdoezelen om me te concentreren op hun chronologische ontwikkeling. Dit is een populairwetenschappelijk boek dat geleidelijk en helder de gepresenteerde ideeën zal verklaren.

Omdat ik het eens ben met de uitspraak van Stephen Hawking dat met elke vergelijking het aantal lezers wordt gehalveerd, bevat dit boek heel weinig vergelijkingen. Ik geloof echter wel dat diagrammen, schema’s en grafieken complexe ideeën eenvoudiger kunnen maken. Mijn doel is helderheid.

Elk hoofdstuk gaat over een ander gebied: wetenschap, wiskunde, taal, filosofie, enzovoort. Deze hoofdstukken zijn geordend van concreet naar abstract. Ik begin met eenvoudige problemen van de alledaagse taal en ga vervolgens in op simpele filosofische vragen, om te besluiten met de abstracte wereld van de wiskunde. De hoofdstukken staan over het algemeen los van elkaar en kunnen in elke volgorde worden gelezen. De lezers worden aangemoedigd om te beginnen met de onderwerpen die hen het meest interesseren. (Het steeds terugkerende thema van zelfreferentiële paradoxen is te vinden in de hoofdstukken 2, 4, 6 en 9.)

Inleiding

De menselijke rede moet stilstaan bij vragen die zij niet kan afwijzen, omdat ze door haar eigen aard worden aangedragen, maar die zij niet kan beantwoorden, omdat zij alle verstandelijke vermogens te boven gaan.

– Immanuel Kant (1724-1804)

==

Als de cirkel van het licht groter wordt, geldt dat ook voor de omtrek van het donker.

– Toegeschreven aan Albert Einstein

==

Zorba: Waarom sterven jonge mensen? Waarom sterft wie dan ook?

Basil: Ik weet het niet.

Zorba: Wat heb je aan al jouw stomme boeken als ze daar geen antwoord op kunnen geven?

Basil: Ze vertellen me over de zielenstrijd van mensen die geen antwoord kunnen geven op vragen zoals die van jou.

Zorba: Ik spuug op die zielenstrijd!

– Zorba the Greek (1964)

==

Een beschaving kan afgemeten worden aan de vorderingen die zij heeft gemaakt op het gebied van wetenschap en technologie. Hoe geavanceerder de wetenschap en de technologie, des te geavanceerder de beschaving. Onze beschaving wordt geavanceerder geacht dan wat wij primitieve samenlevingen noemen vanwege alle technologische vooruitgang die wij hebben geboekt. Maar als een buitenaardse beschaving de aarde zou bezoeken, zou die ons, bijna per definitie, primitief vinden, omdat zij interstellaire ruimtereizen kan maken en wij niet. De reden dat wetenschap en technologie als maatstaf worden gebruikt, is dat die activiteiten het enige cultuuraspect zijn dat op zichzelf voortbouwt. Wat door de ene generatie wordt gedaan, wordt gebruikt door de volgende generatie. Dit is fraai geformuleerd door een van de grootste wetenschappers aller tijden, Isaac Newton (1643-1727), die naar verluidt heeft gezegd: ‘Als ik verder heb gezien, komt dat alleen doordat ik op de schouders van reuzen heb gestaan.’ Door deze voortdurende cumulatieve vooruitgang is de wetenschap een goede maatstaf om beschavingen met elkaar te vergelijken. In tegenstelling tot wetenschap en technologie bouwen andere domeinen van een cultuur, zoals de kunsten, menselijke relaties, literatuur, politiek, ethiek, en wat dies meer zij niet op zichzelf voort.

Een andere maatstaf voor een beschaving is de mate waarin zij onwetenschappelijke en irrationele ideeën heeft uitgebannen. Wij zijn tegenwoordig meer geavanceerd omdat we de alchemie in de prullenbak van domme dromen hebben gegooid en alleen nog scheikunde bestuderen. Eeuwen aan verhandelingen over astrologie zijn tot onzin bestempeld terwijl we wel de astronomie blijven bestuderen. Als een beschaving voortschrijdt, onderwerpt zij haar overtuigingen en mythen aan een logische analyse en verwerpt zij dat wat niet binnen de grenzen van de rede ligt.

De rede is het instrument dat een beschaving gebruikt voor die vooruitgang. Rationaliteit en de rede zijn de middelen die een samenleving gebruikt om zich te ontwikkelen. Als een cultuur de rede volgt, zal zij vooruitgang boeken. Als zij van de rede afwijkt, of de grenzen van de rede overschrijdt, stagneert zij of beleeft zij een terugval.

De rede kent vele gedaanten. In algemene (en misschien onnauwkeurige) termen is de wetenschap de taal die wij gebruiken om het tastbare en meetbare universum te beschrijven en te voorspellen. De meer abstracte wiskunde kan in twee gebieden onderverdeeld worden: de toegepaste wiskunde is de taal van de wetenschap, en de zuivere wiskunde is de taal van de rede. Logica is ook een taal van de rede. Omdat wetenschap, technologie, rede, rationaliteit, logica en wiskunde allemaal nauw met elkaar verbonden zijn, zal veel van wat ik over een van die domeinen zeg doorgaans ook voor alle andere gelden. Soms zal ik het woord ‘rede’ gewoon gebruiken om ze allemaal te beschrijven.

Eeuwenlang hebben filosofen nagedacht en gedebatteerd over wat mensen wel en niet kunnen weten. De tak van de filosofie die zich bezighoudt met de menselijke kennis en haar beperkingen heet epistemologie. Hoewel de ideeën van zulke filosofen fascinerend zijn, zal hun werk hier niet centraal staan. In plaats daarvan zullen wij ons richten op wat wetenschappers, wiskundigen en de huidige onderzoekers ons te vertellen hebben over de grenzen van de menselijke kennis en rede.

Een van de meest verbazingwekkende aspecten van de moderne wetenschap, wiskunde en rationaliteit is dat ze zich ontwikkeld hebben tot een niveau waarop ze hun eigen beperkingen kunnen zien. Recentelijk hebben wetenschappers en wiskundigen zich aangesloten bij de filosofen in de discussie over de beperkingen van het menselijk vermogen om de wereld te kennen. Die wetenschappelijke beperkingen van de rede zijn het hoofdonderwerp van dit boek.

Hier volgt een aardig puzzeltje dat een indruk geeft van wat het voor de rede betekent om een beperking te beschrijven. De puzzel is ontzettend leuk, de moeite van het overpeinzen waard en wordt ook van harte aangeraden als een uitdaging op elke cocktailparty. Neem een normaal schaakbord van 8 bij 8 en een stel dominostenen van 2 bij 1. Het schaakbord heeft 64 vakken en elke dominosteen bedekt twee vierkanten, zodat er 32 stenen nodig zullen zijn. Er zijn miljoenen manieren om deze taak uit te voeren. In figuur 1.1 is te zien hoe we ermee zouden kunnen beginnen.

==

Figuur 1.1 Een schaakbord bedekken met dominostenen

==

Dat was best makkelijk. Laten we nu eens iets proberen wat lastiger is. Zet twee koninginnen op de tegenover elkaar gelegen hoeken van het schaakbord en probeer alle vierkanten te bedekken behalve die met de koninginnen, zoals in figuur 1.2. Er moeten 62 vierkanten bedekt worden, wat betekent dat er 31 dominostenen nodig zijn. Probeer maar!

==

Figuur 1.2 Een schaakbord bedekken zonder de twee tegenover elkaar gelegen hoeken

==

Nadat je een tijdje met dit probleem hebt geworsteld en niet elk vierkant hebt kunnen bedekken, zou je kunnen overwegen om het aan anderen te laten zien – met name aan puzzelfanaten. Die zullen dezelfde ervaring hebben. Misschien zou je een computer op dit probleem willen zetten omdat een machine snel vele mogelijkheden kan uitproberen. Er zijn miljoenen, zo niet miljarden, mogelijke manieren waarop je een begin kunt maken met de plaatsing van de stenen op het bord. Niettemin is er geen mens of computer die deze taak ooit kan voltooien.

De reden dat dit eenvoudige probleem van het plaatsen van 31 dominostenen op een schaakbord zo moeilijk lijkt, is dat het niet kán. Het is geen moeilijk probleem; het is een onmogelijk probleem. Het is zelfs makkelijk te verklaren waarom dat zo is. Elke dominosteen is 2 bij 1 en moet derhalve een zwart en een wit vierkant op het schaakbord bedekken. Het oorspronkelijke bord in figuur 1.1 had 32 zwarte en 32 witte vierkanten om te bedekken. Het bord was volledig symmetrisch. Maar het bord in figuur 1.2 heeft 30 zwarte en 32 witte vierkanten die bedekt moeten worden. De symmetrie is doorbroken. Niemand zal die 62 vierkanten zo met dominostenen kunnen bedekken dat elk daarvan zich op één zwart en één wit vierkant bevindt. Verplaats nu de koninginnen zodat de ene op een zwart vierkant staat en de andere op een wit, en probeer het nog eens.

Dit puzzeltje heeft veel leuke eigenschappen. Het is makkelijk uit te leggen, makkelijk te proberen een oplossing te vinden en bij die pogingen kan een computer gebruikt worden. Toch kan het niet opgelost worden. Dat is niet omdat wij er niet slim genoeg voor zijn of omdat het probleem de vermogens van de huidige technologie te boven gaat, maar omdat het helemaal niet opgelost kan worden. Dat is niet iemands mening, maar een vaststaand feit. De rede dicteert dat ons vermogen om dit probleem op te lossen beperkt is. Het beste aspect van dit probleem is dat het makkelijk te verklaren is waarom het onoplosbaar is. Als die verklaring eenmaal uiteengezet is, zul je er volledig van overtuigd zijn en deze banaal vinden.

Dit boek bevat een groot aantal van zulke onoplosbare problemen en beperkingen.

==

In plaats van een ordelijke samenvatting van elk hoofdstuk te geven, zal ik de soorten beperkingen classificeren die in dit boek worden behandeld. Voor elk type beperkingen zal ik naar voorbeelden uit de verschillende hoofdstukken kijken. Dat zal het boek een coherentere structuur geven.

Er zijn legio voorbeelden van beperkingen. Computerwetenschappers hebben aangetoond dat er veel taken zijn die computers niet binnen een redelijke tijd kunnen uitvoeren (hoofdstuk 5). Ze hebben ook aangetoond dat er bepaalde taken zijn die computers überhaupt niet kunnen uitvoeren (hoofdstuk 6). Natuurkundigen hebben het erover hoe complex de wereld is en hoe sommige verschijnselen dermate gecompliceerd zijn dat de wetenschap en de wiskunde ze niet kunnen voorspellen (sectie 7.1). Wiskundigen hebben vastgesteld dat bepaalde soorten vergelijkingen niet met normale middelen opgelost kunnen worden (sectie 9.2). Logici hebben bewezen dat er beperkingen zijn in wat er bewezen kan worden. Ze hebben logische uitspraken beschreven die wel waar zijn maar niet bewezen kunnen worden (sectie 9.4). Taalfilosofen hebben aangetoond dat ons vermogen om de wereld waarin wij leven te beschrijven beperkt is (hoofdstuk 2).

Er zijn andere soorten beperkingen die, in zekere zin, fundamenteler zijn. Er zijn beperkingen waaruit blijkt dat onze naïeve intuïtie omtrent de wereld en onze relatie tot die wereld niet klopt. Wij moeten de manier waarop wij over het universum en zijn eigenschappen denken herzien. Alleen al onze aanname dat er een objectieve definitie van een bepaald tastbaar object bestaat moet heroverwogen worden (sectie 3.1). De klassieke filosoof Zeno heeft aangetoond dat onze gebruikelijke ideeën over ruimte, tijd en beweging grondiger geanalyseerd moeten worden (sectie 3.2). De kwantummechanica heeft ons geleerd dat de relatie tussen de kenner en het gekende niet eenvoudig is. Deze tak van de natuurkunde heeft ons ook getoond dat in deze wereld alles nauwer met elkaar is verbonden dan voorheen werd gedacht (sectie 7.2). Onderzoekers hebben aangetoond dat onze simpele intuïties met betrekking tot oneindigheid onjuist zijn en bijgesteld moeten worden (hoofdstuk 4). De relativiteitstheorie heeft bewezen dat onze ideeën over ruimte, tijd en causaliteit onjuist zijn en gecorrigeerd moeten worden. Natuurkundigen hebben aangetoond dat er geen objectieve maatstaf is voor lengte of duur (sectie 7.3). Ook de relatie tussen ons, onze wereld, en de wetenschap en wiskunde die wij gebruiken om de wereld te beschrijven is niet simpel (hoofdstuk 8). Al deze onderwerpen, en nog vele andere, komen op de volgende pagina’s uitgebreid aan de orde.

De zojuist genoemde beperkingen worden op vele manieren gedemonstreerd. Een van de interessantere manieren is met paradoxen. Dit woord komt van het Griekse para- ‘strijdig’ en doxa ‘mening’. De Oxford English Dictionary geeft veel overlappende definities, onder andere

==

– Een uitspraak of stelling die in strijd is met de gangbare mening of overtuiging. (Bijvoorbeeld: ‘Meeroken is niet zo slecht voor je.’ ‘Democratie is niet altijd de beste regeringsvorm.’)

– Een schijnbaar absurde of tegenstrijdige uitspraak of bewering, of een die erg tegen het gevoel indruist, die na onderzoek, analyse of toelichting niettemin gegrond of juist kan blijken. (Bijvoorbeeld: ‘Op lange termijn is het niet goed om op de aandelenmarkt te beleggen.’ ‘Staan kost meer inspanning dan lopen.’)

==

Voor ons zal de belangrijkste definitie zijn:

==

– Een redenering, gebaseerd op (schijnbaar) aanvaardbare premissen, waarbij (schijnbaar) steekhoudende argumenten worden gebruikt, en die tot een conclusie leidt die in strijd met het gezond verstand, logisch onaanvaardbaar of tegenstrijdig is.

==

Wij zullen ons vooral met zulke paradoxen bezighouden. Hierbij heb je een premisse of aanname en kom je met gebruikmaking van goede logica tot een onwaarheid. Deze paradox of afleiding kunnen we als volgt voorstellen:

==

aanname ⇒ onwaarheid.

==

Omdat onwaarheden zich niet voor kunnen doen en omdat onze afleiding gebaseerd was op correcte logica, is de enige conclusie dat onze aanname onjuist was. In zekere zin is de paradox een test om te kijken of een aanname een legitieme toevoeging aan de rede is. Als je met correct redeneren en een bepaalde aanname op een onwaarheid uitkomt, dan is die aanname onjuist. De paradox toont aan dat we de grenzen van de rede hebben overschreden. In die zin is de paradox iets wat wijst op een onjuiste opvatting. Hij wijst op het feit dat de aanname onjuist is. Omdat de aanname onjuist is, kan hij niet aan de rede worden toegevoegd. Dit is een beperking van de rede.

Het soort onwaarheid dat wij het meest zullen tegenkomen is een contradictie. Met een contradictie bedoel ik een feit dat zowel juist als onjuist is gebleken. Dit wordt geschreven als:

==

aanname ⇒ contradictie.

==

Aangezien het universum geen contradicties kent, moet er iets mis zijn met de aanname. Zo zullen we in hoofdstuk 6 zien dat we een contradictie met betrekking tot bepaalde computers kunnen afleiden als we aannemen dat een computer een bepaalde taak kan uitvoeren. Omdat er geen contradicties bestaan met betrekking tot concrete objecten zoals computers, moet er iets mis zijn met onze aanname.

Zulke paradoxen werken op dezelfde manier als een veelvoorkomend wiskundig bewijs. Een ‘bewijs door middel van contradictie’, of in het Latijn reductio ad absurdum (‘herleiding tot het absurde’), gaat als volgt. Als je wilt aantonen dat een bepaalde uitspraak juist is, ga er dan van uit dat de uitspraak onjuist is en leidt daar een contradictie uit af:

==

onjuiste uitspraak ⇒ contradictie.

==

Omdat contradicties niet zijn toegestaan in de exacte wereld van het wiskundig redeneren, moet de aanname onjuist zijn en is de uitspraak in feite juist. Een eenvoudig voorbeeld is het wiskundige bewijs dat de vierkantswortel van 2 geen rationeel getal is (sectie 9.1). Als we aannemen dat de vierkantswortel van 2 wél een rationeel getal is, creëren we een contradictie. Daaruit kunnen we concluderen dat de vierkantswortel van 2 geen rationeel getal is. In sectie 4.3 laat ik zien dat we een contradictie kunnen creëren als we aannemen dat twee specifieke verzamelingen dezelfde omvang hebben. Daaruit concluderen we dat een van de verzamelingen groter is dan de andere. Bewijsvoeringen door middel van contradicties zijn alomtegenwoordig.

Voor een paradox hoef je geen echte contradictie te creëren. Je hoeft alleen maar een feit af te leiden dat niet strookt met de waarneming of dat domweg onjuist is:

==

aanname ⇒ onjuist feit.

==

Wederom moet onze aanname onjuist zijn omdat we iets hebben afgeleid wat onjuist is. De paradoxen van Zeno zijn voorbeelden van dit type (sectie 3.2). Zeno neemt iets aan en toont vervolgens aan dat beweging onmogelijk is. Iedereen die ooit op straat heeft gelopen weet dat beweging zich voortdurend voordoet en dat de aanname derhalve onjuist is. De moeilijkheid bij de paradoxen van Zeno is de onjuiste aannamen eruit te halen.

Paradoxen treden dikwijls op en brengen voorheen verborgen aannamen aan het licht. Het zou kunnen dat die aannamen zo diep in ons zijn geworteld dat we er niet eens bij stilstaan (bijvoorbeeld de aanname dat de ruimte ononderbroken is en niet discontinu, of dat concrete objecten exacte definities hebben). Zulke paradoxen zullen een uitdaging zijn voor onze intuïties omtrent het universum waarin wij leven. Door aan te tonen dat onze intuïties onjuist zijn, kunnen we ze verwerpen en ons ontwikkelen. De Amerikaanse filosoof Willard Van Orman Quine (1908-2000) schreef welsprekend:

==

De redenering achter een paradox kan de absurditeit aan het licht brengen van een verborgen premisse of een vooroordeel dat voorheen fundamenteel werd geacht voor de natuurkunde, de wiskunde of het denkproces. In de schijnbaar onschuldigste paradox kan derhalve een catastrofe op de loer liggen. Meer dan eens in de geschiedenis is de ontdekking van een paradox de aanleiding geweest voor een ingrijpende herziening van de fundamenten van het denken.

==

Deze methode om paradoxen te onderzoeken en de onderliggende aannamen te achterhalen zal een van de hoofdthema’s van dit boek zijn.

Bepaalde soorten paradoxen spelen een belangrijke rol in het verhaal dat wij vertellen. Zelfreferentiële paradoxen zijn paradoxale situaties die voortkomen uit een systeem waarbinnen de objecten van het systeem zichzelf kunnen manipuleren. Het klassieke voorbeeld van een zelfreferentiële paradox is de zogenaamde leugenaarsparadox. Neem deze zin:

==

Deze zin is onwaar.

==

Als de zin waar is, dan is de zin feitelijk onwaar, omdat hij dat stelt. Als de zin onwaar is, dan is de zin waar, omdat hij zijn eigen onwaarheid verwoordt. Dit is een echte contradictie. Het probleem komt voort uit het feit dat zinnen zowel juiste als onjuiste uitspraken over zichzelf kunnen doen. Zo is ‘Deze zin heeft vijf woorden’ een legitieme zin die een waarheid omtrent zichzelf verwoordt. ‘Deze zin heeft zes woorden’ doet daarentegen een onjuiste uitspraak over zichzelf. We zullen zien dat er zich altijd een paradoxale situatie kan voordoen als een systeem eigenschappen van zichzelf kan formuleren. We zullen ontdekken dat taal, het denken, verzamelingen, logica, wiskunde en computers allemaal systemen zijn met het vermogen om zichzelf te manipuleren. Binnen al deze domeinen zal het potentieel voor zelfverwijzing leiden tot paradoxen en derhalve tot bepaalde beperkingen. Het verbazingwekkende is dat hoewel deze domeinen heel verschillend zijn, de vorm van de paradoxen hetzelfde is.

Een andere manier om een beperking te beschrijven is door mee te liften met een reeds bekende beperking. Laten we het even hebben over bergbeklimmen, voordat ik uitleg wat dat allemaal inhoudt. De Mount Everest is 8850 meter hoog en Mount McKinley is ‘slechts’ 6168 meter hoog. Het volgende feit lijkt evident: als je de Mount Everest kunt beklimmen, kun je zeker (a fortiori) Mount McKinley beklimmen. We noteren dit als volgt:

==

Het beklimmen van Everest ⇒ het beklimmen van McKinley.

==

Als je Mount McKinley kunt beklimmen, zou je heel trots zijn. Wij noteren dit als:

==

Het beklimmen van McKinley ⇒ trots.

==

Als we de twee implicaties combineren, krijgen we:

==

Het beklimmen van Everest ⇒ het beklimmen van McKinley ⇒ trots,

==

wat tot de voor de hand liggende conclusie leidt dat je heel trots zou zijn als je de Mount Everest kunt beklimmen. Laten we nu kijken naar de schaduwzijde van het bergbeklimmen. Stel dat je dokter tegen je heeft gezegd dat er nare dingen met je kunnen gebeuren als je Mount McKinley zou proberen te beklimmen. Wij noteren dit als:

==

Het beklimmen van McKinley ⇒ nare dingen.

==

Hiermee wordt een beperking van je vermogens aangegeven: je zou Mount McKinley niet moeten beklimmen. Als je deze implicatie combineert met de eerste, krijg je:

==

Het beklimmen van Everest ⇒ het beklimmen van McKinley ⇒ nare dingen.

==

Dit is een vaststelling van het voor de hand liggende feit dat als je Mount McKinley beter niet kunt beklimmen, je Mount Everest zeker niet moet beklimmen. Met andere woorden, de evidente implicatie

==

Het beklimmen van Everest ⇒ het beklimmen van McKinley

==

kan gebruikt worden om een bekende beperking over het beklimmen van Mount McKinley over te dragen op of mee te nemen in een beperking met betrekking tot het beklimmen van Mount Everest. Van deze simpele ideeën zal ik gebruikmaken in het hiernavolgende.

Laten we nu dit inzicht omtrent bergbeklimmen gebruiken om het algemene concept te begrijpen hoe de ene beperking op een andere mee kan liften. Stel dat er op de volgende manier een beperking is vastgesteld door middel van een contradictie:

==

aanname A ⇒ contradictie.

==

Dat wil zeggen, aanname A kan niet juist zijn omdat we daaruit een contradictie afleiden. Neem nu aanname B. Als wij kunnen aantonen dat we van aanname B aanname A kunnen afleiden, dus,

==

aanname B ⇒ aanname A,

==

dan krijgen we

==

aanname B ⇒ aanname A ⇒ contradictie.

==

Verder uitgewerkt: als aanname B juist is, dan is aanname A ook juist, en omdat we al hebben vastgesteld dat aanname A niet juist is, concluderen wij dat aanname B ook niet juist is. Dit wordt een herleiding (ook wel reductie) genoemd: de ene aanname wordt herleid tot een andere. Bij een herleiding is er sprake van een overdracht van reeds bekende beperkingen op andere domeinen.

Door het hele boek zijn voorbeelden van herleidingen te vinden:

==

– Ik laat zien dat als het veel tijd kost voor een computer om een bepaald probleem op te lossen, het een computer nog meer tijd zal kosten om andere moeilijkere problemen op te lossen (sectie 5.3).

– Ik laat zien dat als een computer een bepaald probleem niet kan oplossen, moeilijkere problemen ook niet door een computer kunnen worden opgelost (sectie 6.3).

– Ik gebruik soortgelijke methoden om te laten zien dat bepaalde eenvoudig geformuleerde wiskundige problemen onoplosbaar zijn (sectie 9.3).

– Andere vergelijkbare herleidingen zijn te vinden in mijn bespreking van de logica (sectie 9.5).

==

Een paar woorden over contradicties. Het tastbare universum staat geen contradicties toe:

==

– Een bepaald molecuul kan niet zowel zoutzuur als geen zoutzuur zijn.

– Op hetzelfde moment en op dezelfde plek kan het niet zowel maandag als geen maandag zijn.

– De diagonaal van een vierkant kan niet even lang zijn als de zijkant.

==

Zo kan ook de wetenschap, als beschrijving van het tastbare universum, geen uitdrukking geven aan contradicties:

==

– De formules e = mc² en e ≠ mc² kunnen niet allebei waar zijn.

– Een berekening met betrekking tot een chemisch proces kan niet zowel waar als onwaar zijn.

– Een voorspelling kan niet twee onverenigbare gebeurtenissen voorspellen.

==

Als de wetenschap een contradictie zou bevatten, zou die geen exacte beschrijving zijn van het contradictievrije universum. Hetzelfde geldt voor de wiskunde en de logica: voor zover die gebruikt worden als beschrijving van het universum en de wetenschap, kunnen zij geen contradicties bevatten.

Er is echter een plek waar contradicties zich wel voordoen, namelijk in de menselijke geest. Wij zitten allemaal vol contradicties; we verlangen naar contradictoire dingen; we geloven in contradictoire ideeën; en we voorspellen contradictoire gebeurtenissen. Iedereen die ooit een relatie heeft gehad, kent het gevoel tegelijk van iemand te houden en hem of haar te haten. Wij willen zowel taart eten als slank zijn. Zoals de koningin tegen Alice zegt in Alice in Spiegelglas: ‘Er waren dagen waarop ik voor het ontbijt al zes onmogelijke dingen had geloofd.’ De menselijke geest is geen perfecte machine. Wij verkeren in tweestrijd en verwarring. Zo moet ook de menselijke taal, die gemoedstoestanden weergeeft, contradicties bevatten. Er is niets vreemds aan de uitspraak ‘ik hou van haar en ik haat haar’. Het is niet ongebruikelijk dat iemand zegt dat hij slank wil zijn en toch nog een stuk taart neemt.

Als we in de tastbare wereld op een paradox stuiten en tot een contradictie komen, weten we dat er iets mis moet zijn met de aanname of de paradox. Maar als we op een contradictie stuiten in het domein van het menselijk denken of in de menselijke taal, hoeven we de aanname niet op te geven. Dan is er meer subtiliteit mogelijk. Waarom zouden we de contradictie niet toestaan? Neem de eerder besproken leugenaarsparadox. Waarom zouden we niet eenvoudigweg zeggen dat de zin

==

Deze zin is onwaar

==

zowel waar als onwaar is of misschien betekenisloos? Het is gewoon een zin en veel zinnen bevatten contradicties. Zo is ook de overtuiging

==

Deze overtuiging is onjuist

==

zowel juist als onjuist. Waarom zouden we zulke contradictoire overtuigingen niet toelaten in onze toch al verwarde geest?

De relatie tussen het contradictievrije universum en onze zwakke menselijke geesten en talen roept veel meer interessante vragen op. Hoe komt het dat de menselijke geest om het even welk deel van het universum kan begrijpen? Hoe kan een door mensen geformuleerde taal het universum beschrijven? Waarom werkt de wetenschap? Waarom is de wiskunde zo goed in het beschrijven van de wetenschap en het universum? Bestaan de wetten van de wetenschap buiten ons of alleen in ons hoofd? Kan er een definitieve beschrijving van het universum zijn – dat wil zeggen, zal de wetenschap haar missie ooit kunnen voltooien en haar doel bereiken? Zijn de waarheden van de wetenschap en de wiskunde tijd- of cultuurgebonden? Hoe kunnen mensen bepalen of een wetenschappelijke theorie juist is? Zoals Albert Einstein schreef: ‘Het eeuwige raadsel van de wereld is zijn begrijpelijkheid.’ Deze en vele andere vragen uit de filosofie van de wetenschap en de wiskunde komen in hoofdstuk 8 aan de orde.

Tussen het contradictievrije universum en de van contradicties vergeven menselijke geest ligt een heel vaag landschap:

==

– Iemand die in de deuropening van een kamer staat, bevindt zich zowel in de kamer als daarbuiten.

– Hoeveel haren moet iemand verliezen voordat men hem als kaal beschouwt? Afhankelijk van hoe de wind waait, vindt men hem soms kaal en soms niet kaal.

– Is 42 een klein of een groot aantal?

==

Mensen bedienen zich voortdurend van vage ideeën. Onze geestesgesteldheid en de menselijke taal waarmee die gepaard gaat zit vol vage uitspraken:

==

– Soms zeggen we dat mensen in een deuropening in de kamer zijn en soms zeggen we dat ze niet in de kamer zijn.

– Sommige mensen met een paar haren noemen we kaal en andere niet.

– Als er maar 42 dollar op onze bankrekening staat, noemen we 42 een klein bedrag, maar als we het hebben over het aantal ziektes dat iemand heeft, is 42 een groot aantal.

==

Omdat vage ideeën zich buiten de zuivere wereld van de wetenschap en de wiskunde bevinden, kunnen we bij de behandeling van die ideeën niet vertrouwen op een aantal van de gebruikelijke hulpmiddelen. Vaagheid speelt een grote rol in onze verhandelingen in hoofdstuk 3.

==

Als een kleine terzijde zijn bepaalde soorten grappen interessant in het kader van onze beschouwing. We hebben gezien dat paradoxen manieren zijn om aan te tonen dat iemand de rede te ver heeft doorgevoerd. De schending van een paradox betekent dat je de grenzen van de rede hebt overschreden en het domein van het absurde hebt betreden. Er zijn ook grappen die spelen met het feit dat wij de rede te ver doorvoeren. Zulke grappen brengen de logica en de rede op onlogische en onredelijke plaatsen. Ze beginnen met welbegrepen concepten en gaan daarmee aan de haal. Zoals de volgende:

==

– Woody Allen heeft gespiekt bij zijn examen metafysica door in de ziel van de jongen naast hem te kijken.

– Steven Wright zei dat hij een moord zou plegen voor de Nobelprijs voor de vrede.

– Groucho Marx wilde geen lid zijn van een club die hem als lid wilde hebben.

==

Bij al deze grappen worden normale ideeën te ver doorgevoerd. Spieken bij een examen, de Nobelprijs voor de vrede willen krijgen, of uit weerzin je lidmaatschap van een club opzeggen zijn allemaal gewone ideeën. Maar deze grote denkers hebben deze gebruikelijke concepten tot in het dwaze en belachelijke doorgevoerd.

Ook woordspelingen behoren tot deze categorie. Een woordspeling is een grap waarbij de betekenis van een woord of een zin een andere wending krijgt.

==

– De bultenaar besefte dat hij het ergste achter de rug had.

– De cursus lassen voor beginners is afgelast.

– Ga gerust naar de dokter; hij wordt er beter van.

==

Kreun! (Sorry. Het enige wat erger is dan een woordspeling is een analyse van een woordspeling. Laten we maar doorgaan.)

==

Ik besluit deze inleiding met een paar vragen over de aard van de rede en haar beperkingen. Lees het boek met deze vragen in het achterhoofd. Ik zal in het laatste hoofdstuk op deze kwesties terugkomen en misschien dichter bij de antwoorden komen met behulp van enkele ideeën die in dit boek worden besproken.

Ik zou tekortschieten als ik een boek zou schrijven over de grenzen van de menselijke rede zonder een definitie te geven. Want hoe kunnen we zeggen dat iets de grenzen van de rede overschrijdt als we die niet definiëren? Wat is een redelijk proces om feiten vast te stellen? Heeft de rede verschillende niveaus? Hoe trekken we de grens tussen alchemie en chemie? Tussen astrologie en astronomie? Waarom worden sommige handelingen redelijk geacht en andere niet? Waarom is het zinnig om je bloeddruk te laten controleren maar belachelijk om je horoscoop te laten trekken? Welke denkprocessen zijn redelijk en zullen contradicties voorkomen?

De Oxford English Dictionary geeft zestien soorten definities voor het woord ‘rede’. De definitie die het dichtst in de buurt komt van de door ons gewenste is de volgende: ‘Het vermogen van de geest om te denken en door een logisch proces tot valide oordelen te komen; het mentale vermogen dat gebruikt wordt om het denken of handelen op een bepaald doel af te stemmen; het leidende beginsel van de geest bij het denkproces. Dikwijls in tegenstelling tot de wil, verbeelding, hartstocht, enzovoort. Vaak gepersonifieerd.’ Deze definitie roept echter alleen maar meer vragen op. Wat is een ‘valide oordeel’? Wanneer is iets een logisch proces, in tegenstelling tot een onlogisch proces? Wanneer is denken een onderdeel van de wil en wanneer spreken we van de rede? Deze definitie is onbevredigend. Andere mogelijke definities zijn niet veel beter.

Onze hele onderneming heeft iets zelfreferentieels. We bedienen ons van de rede om beperkingen van de rede te vinden. Maar hoe moeten we die beperkingen ontdekken als de rede zelf beperkt is? Wat zijn de grenzen van onze vermogens om grenzen aan te tonen?

Laten we deze vragen nog even voor ons uit schuiven en er in hoofdstuk 10 op terugkomen, wanneer we onze verkenningen van de grenzen van de rede zullen besluiten.

Verdere lectuur

Andere boeken waarin beperkingen van de rede worden behandeld zijn Barrow (1999), Dewdney (2004) en Poundstone (1989). Sorensen (2003) is een geweldige geschiedenis van de paradox.

2
Paradoxen in de taal

Waarover men niet kan spreken, daarover moet men zwijgen.1

– Ludwig Wittgenstein (1889-1951), stelling 7 van de Tractatus Logico-Philosophicus

==

Tenslotte weet de heer Wittgenstein veel te zeggen over wat niet gezegd kan worden.

– Bertrand Russell (1872-1970), inleiding tot Wittgensteins Tractatus Logico-Philosophicus

==

De helft van de leugens die ze over mij vertellen is niet waar.2

– Yogi Berra

==

Laten we ons niet halsoverkop op de beperkingen van de rede storten, maar beginnen met alleen onze tenen in het water te steken en de beperkingen van de taal onder de loep te nemen. Taal is een instrument dat wordt gebruikt om de wereld waarin wij leven te beschrijven. Maar verwar de kaart niet met het gebied! Er is één groot verschil tussen taal en de wereld waarin wij leven: terwijl de echte wereld vrij van contradicties is, kunnen de door mensen gemaakte talige beschrijvingen van die wereld wél contradicties bevatten.

In sectie 2.1 vinden we de beroemde leugenaarsparadox en zijn vele varianten. Met deze relatief makkelijke raadsels kunnen we beginnen. Sectie 2.2 bevat een verzameling zelfreferentiële paradoxen. Ik toon aan dat die allemaal dezelfde vorm hebben. In sectie 2.3 treffen we diverse paradoxen aan waaraan beschrijvingen van getallen te pas komen.

2.1 Leugenaar!

Een taalparadox is een frase of zin die met zichzelf in tegenspraak is. Een babyversie van een taalparadox is een oxymoron (van het Griekse oxys voor ‘scherp’ en moros voor ‘dom’ – oxymoron betekent derhalve ‘scherpzinnige dwaasheid’). Dit zijn uitdrukkingen, die doorgaans uit twee woorden bestaan, die elkaar tegenspreken. Enkele voorbeelden zijn ‘originele kopieën’, ‘publiek geheim,’ ‘duidelijk in de war’, ‘militante pacifist’, ‘de grootste helft’, ‘samen alleen’, en mijn favoriet ‘gedraag je natuurlijk’. Hoewel deze uitdrukkingen feitelijk onzinnig zijn, hebben wij mensen er geen moeite mee om ze in de dagelijkse spreektaal te gebruiken.

Het klassieke voorbeeld van een taalparadox is de beroemde Epimenidesparadox. Die is meer dan tweeënhalf millennium oud, afkomstig uit de tijd dat Epimenides (600 v. Chr.), een Kretenzische filosoof en dichter, over zijn buren klaagde in een gedicht met de titel ‘Cretica’. Hij schreef: ‘De Kretenzers, allemaal leugenaars, snode bruten, luie buiken!’ Dit lijkt3 paradoxaal. Als de uitspraak waar is, noemt Epimenides zichzelf een leugenaar, omdat hij ook een Kretenzer is. In dat geval is deze regel van het gedicht onwaar. Maar als hij onwaar is, is Epimenides geen leugenaar en is de regel waar.

Er zijn veel taalparadoxen die lijken op de uitspraak van Epimenides. De leugenaarsparadox is een simpele zin, bijvoorbeeld

==

Ik lieg.

==

of

==

Deze zin is onjuist.

==

Als deze zinnen waar zijn, zijn ze onwaar. En als ze onwaar zijn, zijn ze waar.

De leugenaarsparadox wordt in vele verschillende vormen aangetroffen. Zo kunnen we een zin aanduiden als L1 en vervolgens zeggen dat L1 zijn eigen onwaarheid verkondigt:

==

L1: L1 is onwaar.

==

En weer: als L1 waar is, is hij onwaar. En als L1 onwaar is, is hij waar. Andere variaties van de leugenaarsparadox hebben zinnen die niet direct zelfreferentieel zijn. Neem bijvoorbeeld de volgende twee zinnen:

==

L2: L3 is onwaar.

==

L3: L2 is waar.

==

Als L2 waar is, is L3 onwaar, hetgeen zou betekenen dat ‘L2 is waar’ onwaar is en dus dat L2 onwaar is. Als daarentegen L2 onwaar is, dan is L3 waar en stelt L3 dat L2 waar is. Tring! Dat is een contradictie.

Het is belangrijk op te merken dat alleen het feit dat zinnen naar zichzelf verwijzen en onwaar zijn niet betekent dat er sprake is van een contradictie. Neem deze twee zinnen:

==

L4: L5 is onwaar.

==

L5: L4 is onwaar.

==

Laten we ervan uitgaan dat L4 onwaar is. Dan is L5 waar en L4 onwaar. Als je op dezelfde wijze uitgaat van de premisse dat L4 waar is, dan blijkt L5 onwaar, en is L4 waar. Geen van beide aannamen leidt tot een contradictie.

Er zijn vele andere vormen van de leugenaarsparadox:

==

– De enige onderstreepte zin op deze pagina is een aperte leugen.

– De vetgedrukte zin op deze pagina is een regelrechte leugen.

– De zin na de vetgedrukte zin op deze pagina is onwaar.

==

Zijn ze waar of onwaar?

De leugenaarsparadox bestaat al meer dan 2500 jaar en filosofen hebben vele verschillende manieren bedacht om zulke contradicties te vermijden. Sommige filosofen proberen deze taalparadoxen te omzeilen door te stellen dat de leugenaarszinnen waar noch onwaar zijn. Tenslotte is niet iedere zin waar of onwaar. Vragen zoals ‘Bij jou of bij mij?’ en commando’s zoals ‘Ga direct naar de gevangenis!’ zijn waar noch onwaar, maar uit de leugenaarszinnen blijkt dat er ook declaratieve zinnen zijn die waar noch onwaar zijn.

Er zijn mensen die zeggen dat de zin ‘Deze zin is onwaar’ niet eens grammaticaal correct is. Immers, waarnaar verwijst ‘deze zin’? Als hij naar iets verwijst, zouden we ‘deze zin’ moeten kunnen vervangen door datgene waarnaar het verwijst. Laten we dat eens proberen:

==

‘Deze zin is onwaar’ is onwaar.

==

Dit is grammaticaal correct en zou waar of onwaar kunnen zijn. Maar het is niet zelfreferentieel en niet hetzelfde als de oorspronkelijke leugenaarszin. Dit lijkt op de zin

==

‘Deze zin is onwaar’ telt vier woorden,

==

die waar is, terwijl

==

‘De zin is onwaar’ telt vijf woorden

==

onwaar is. Het zou leuk zijn om een grammaticaal correcte zin te vinden die een zelfreferentiële paradox is. W.V.O. Quine heeft een slimme manier gevonden om deze problemen te omzeilen. Neem de volgende zin van Quine:

==

‘Levert een onwaarheid op wanneer voorafgegaan door zijn aanhaling’

levert een onwaarheid op wanneer voorafgegaan door zijn aanhaling.

==

Merk eerst op dat dit een valide zin is. Het onderwerp is de frase tussen aanhalingstekens en de persoonsvorm is ‘levert op’. Laten we ons nu afvragen of hij waar is. Als hij waar is, dan krijgen we een onwaarheid wanneer je het onderwerp aan de rest van de zin verbindt, zoals wij hebben gedaan. Dan is de zin onwaar. Maar wat als de zin onwaar is? Dat betekent dat je geen onwaarheid maar een ware zin krijgt wanneer je het onderwerp aan de zin verbindt. Dus als je ervan uitgaat dat de zin van Quine onwaar is, leidt je daaruit af dat hij waar is. Dit is een grammaticaal correcte zin die met zichzelf in tegenspraak is.

Een andere mogelijke oplossing voor paradoxale zinnen is de taal zodanig in te perken dat zulke zinnen worden voorkomen. Sommigen hebben gezegd dat de taal niet in verschillende niveaus gestratificeerd moet worden. Zij hebben verklaard dat zinnen niets kunnen zeggen over andere zinnen van hun eigen of een hoger niveau. Zo zal het laagste niveau bestaan uit zinnen als ‘Gras is groen’ en ‘Mijn pen is blauw’. Het volgende niveau zal bestaan uit zinnen over zinnen op het laagste niveau. Bijvoorbeeld:

==

‘Gras is groen’ is een voor de hand liggende zin.

==

of

==

‘ “Mijn pen is blauw” bevat vier woorden’ is een dom feit.

==

Door de soorten zinnen in te perken zullen we zinnen vermijden van het type

==

De cursieve zin op deze pagina is grammaticaal correct.

==

Dit is een zin die over zichzelf gaat en dus een zin op zijn eigen niveau. Hij wordt niet koosjer verklaard – dat wil zeggen, hij is geen geldig onderdeel van de taal. Elke zin mag alleen iets zeggen over zinnen op een lager niveau. Als een zin wel iets zegt over een zin op zijn eigen niveau, wordt die zin betekenisloos genoemd. Deze stratificatie zal ervoor zorgen dat er geen zelfverwijzingen zijn en dus ook geen contradicties. Met zulke beperkingen zijn taalkundigen er tamelijk zeker van dat ze de meeste paradoxale taalkundige zinnen hebben uitgebannen. Maar deze oplossing is enigszins kunstmatig. De gewonemensentaal heeft nooit problemen gehad met een of andere vorm van zelfverwijzing:

==

– Iemand zegt: ‘O! Ik ben vandaag suf en ik weet niet waar ik het over heb.’ Is hij zich bewust van het uitspreken van deze zin?

– Carly Simon zingt een lied met de tekst ‘You’re so vain, you probably think this song is about you’, oftewel ‘Jij bent zo zelfingenomen dat je waarschijnlijk denkt dat dit nummer over jou gaat’. Maar dit nummer gáát ook over hem!

– ‘Elke regel heeft een uitzondering behalve één regel: deze.’

– ‘Zeg nooit “nooit”!’

– ‘De enige regel is dat er geen regel is.’

==

In al deze gevallen – en nog veel vaker – overtreedt de menselijke taal de regel dat zij alleen mag gaan over zinnen van een ‘lagere’ orde. Het gaat telkens om zinnen die over zichzelf gaan. En toch zijn al deze voorbeelden op de een of andere manier een valide onderdeel van de menselijke taal.

Een andere mogelijke oplossing voor paradoxale zinnen werd genoemd in hoofdstuk 1, namelijk dat de menselijke taal een product is van de menselijke geest, en als zodanig onderhevig aan contradicties. De menselijke taal is geen perfect systeem, dat vrij is van discrepanties (in tegenstelling tot perfecte systemen zoals wiskunde, wetenschap, logica en het concrete universum). We kunnen dus maar beter accepteren dat de menselijke taal gebrekkig is en contradicties bevat. Dat lijkt mij redelijk.

2.2 Zelfreferentiële paradoxen

De oorzaak van het probleem met de leugenaarsparadox is dat de taal gebruikt kan worden om taal te beschrijven, in het bijzonder als het een zin betreft die zijn eigen waarheidsgetrouwheid aan de orde stelt. Dit vermogen van de taal om taal te beschrijven is een vorm van zelfreferentialiteit. Paradoxen die voortkomen uit zulke zelfverwijzingen vormen het onderwerp van deze sectie. Hoewel deze paradoxen niet per se taalkundige paradoxen zijn, lijken ze op de leugenaarsparadox en zullen ze ons helpen de ware aard van zelfreferentialiteit te begrijpen.

De Engelse filosoof Bertrand Russell beschreef een kostelijke kleine paradox die bekend is geworden als de kappersparadox. Stel je een afgelegen dorpje in de Oostenrijkse Alpen voor, waar maar één kapper is. Sommige dorpelingen scheren zichzelf en andere gaan naar de kapper. Iedereen in het dorp houdt zich aan de volgende regel: iedereen die zich niet zelf scheert moet naar de enige kapper en iedereen die zich wel zelf scheert gaat niet naar de kapper. Dat lijkt een vrij onschuldige regel. Waarom zou je tenslotte naar de kapper gaan als je geld kunt besparen door jezelf te scheren? En als je naar de kapper gaat, waarom zou je je dan zelf scheren? Stel jezelf nu de simpele vraag:

==

Wie scheert de kapper?

==

Hij is een dorpeling en dus moet hij naar de kapper als hij zich niet zelf scheert. Maar hij ís de kapper en dus scheert hij zichzelf. Als hij dus inderdaad zichzelf scheert omdat hij de kapper is, gaat hij naar de kapper en scheert hij zich niet zelf.4

We kunnen de kappersparadox weergeven zoals in figuur 2.1. We verdelen de dorpelingen in twee verzamelingen en kijken of de kapper tot de linker- of de rechterverzameling behoort.

==

Figuur 2.1 Tot welke deelverzameling behoort de kapper?

==

In tegenstelling tot de leugenaarsparadox heeft de kappersparadox een eenvoudige oplossing: het beschreven dorpje bestaat gewoonweg niet. Het kan niet bestaan omdat er een contradictie inherent is aan de beschrijving ervan. Onze beschrijving brengt een contradictie omtrent de kapper met zich mee, en omdat de echte wereld geen contradicties kent, bestaat het dorpje niet echt. Er zijn vele andere dorpjes in de Oostenrijkse Alpen, maar die zijn anders ingericht. Misschien zijn daar twee kappers die elkaar scheren; misschien zijn er langharige hippietypes die helemaal niet naar een kapper gaan, ook al is dat nog zo hard nodig. Deze beschrijvingen van andere dorpjes zijn volstrekt legitiem, zij leiden niet tot contradicties. Maar het door Russell beschreven dorpje kan niet bestaan.

Een andere ingenieuze paradox gaat over adjectieven en wordt de heterologische paradox of Grellings paradox genoemd. Neem het woord Nederlands. Dat is een Nederlands woord. Maar Frans is geen Frans woord (het is een Nederlands woord). Laten we nog wat andere adjectieven onder de loep nemen en kijken hoe die zich tot zichzelf verhouden: polysyllabisch is polysyllabisch. Monosyllabisch is niet monosyllabisch. Pentasyllabisch (vijflettergrepig) is pentasyllabisch. Spelfout is geen spelfout. Bijvoeglijk is bijvoeglijk. Vrouwelijk is niet vrouwelijk. Onbeholpenderhand is onbeholpenderhand. Onuitspreekbaar is niet onuitspreekbaar. Feitelijk zijn er twee groepen adjectieven: adjectieven die zichzelf beschrijven en adjectieven die dat niet doen. Alle adjectieven die zichzelf beschrijven noemt men autologisch (van het Griekse autos, dat ‘zelf’ of ‘eigen’ betekent, en logos, dat ‘woord’, ‘spraak’ of ‘rede’ betekent) of homologisch. Daarentegen worden alle adjectieven die zichzelf niet beschrijven heterologisch genoemd (van het Griekse heteros, dat ‘ander(s)’ betekent). Nederlands, polysyllabisch en bijvoeglijk zijn dus allemaal autologisch, terwijl Frans, monosyllabisch, onuitspreekbaar enzovoort allemaal heterologisch zijn. Nu we deze twee categorieën hebben vastgesteld, kunnen we de volgende vraag stellen:

==

Is heterologisch heterologisch?

==

Laten we zeggen dat heterologisch heterologisch is. Zoals

==

Nederlands is Nederlands ⇒ Nederlands is autologisch

==

zo geldt ook:

==

heterologisch is heterologisch ⇒ heterologisch is autologisch

==

en dus is heterologisch niet heterologisch. Maar als we van het tegenovergestelde uitgaan en zeggen dat heterologisch niet heterologisch is, dan kunnen we net zoals we zeggen

==

Frans is geen Frans ⇒ Frans is heterologisch

==

ook zeggen

==

heterologisch is niet heterologisch ⇒ heterologisch is heterologisch.

==

Zo zijn wij tot de gevolgtrekking gekomen dat heterologisch alleen heterologisch is als het niet heterologisch is. Tring! Dit is een lastige contradictie.

We kunnen deze zelfreferentiële paradox wederom voorstellen als in figuur 2.2.

==

Figuur 2.2 Tot welke deelverzameling behoort heterologisch?

==

Deze paradox lijkt ook een eenvoudige oplossing te hebben: het woord heterologisch bestaat niet, en als het wel bestaat, heeft het geen betekenis. We hebben gezien dat we tot een contradictie komen als we heterologisch definiëren. Dit is net zoiets als zeggen dat het dorpje in de kappersparadox niet bestaat.

Maar we kunnen niet domweg alle problemen oplossen door met onze hand te zwaaien en te verklaren dat het woord heterologisch niet bestaat of geen betekenis heeft. Het probleem is te diep geworteld in de aard van de taal zelf. In plaats van verder in te gaan op het woord heterologisch zullen we ingaan op de aanverwante bijvoeglijke bepaling ‘niet waar van zichzelf’. Vraag eenvoudigweg of de bepaling ‘niet waar van zichzelf’ waar van zichzelf is. Die is alleen waar als hij niet waar is. Moeten wij domweg stellen dat ‘niet waar van zichzelf’ geen valide bijvoeglijke bepaling is? Er is niets mis met de woorden in de bepaling. De bepaling heeft niets geks zoals het woord heterologisch. Niettemin komen we op een contradictie uit als we haar gebruiken.

De paradox van het naslagwerk lijkt sterk op de heterologische paradox. Een naslagwerk is een boek dat boeken in verschillende categorieën opsomt. Er zijn veel naslagwerken waarin vele verschillende soorten boeken worden opgesomd. Er zijn naslagwerken voor antiekboeken, antropologieboeken, boeken over de Noorse fauna, enzovoort. Bepaalde naslagwerken bevatten een vermelding van zichzelf. Als je bijvoorbeeld een naslagwerk zou publiceren van alle gepubliceerde boeken, zou dat naslagwerk ook zichzelf bevatten. Er zijn ook bepaalde naslagwerken die zichzelf niet zouden vermelden, zoals een naslagwerk over de Noorse fauna. Neem het naslagwerk dat alle naslagwerken vermeldt die zichzelf niet vermelden en stel jezelf de volgende eenvoudige vraag: vermeldt dit boek zichzelf? Als we er even over nadenken, kunnen we makkelijk zien dat dit boek zichzelf alleen vermeldt als het zichzelf niet vermeldt. Wij concluderen dat zo’n naslagwerk met zo’n regel wat betreft de inhoud niet kan bestaan. (Ik laat het aan de lezer om voor deze paradox een diagram te tekenen zoals in de figuren 2.1 en 2.2.)

Bertrand Russell gebruikte de kappersparadox om een serieuzere paradox uit te leggen die Russells paradox wordt genoemd. Die is abstracter dan de andere zelfreferentiële paradoxen die we hebben gezien en de moeite van het overpeinzen waard. Neem verschillende verzamelingen objecten. Sommige verzamelingen bevatten alleen elementen en andere bevatten andere verzamelingen. Zo kun je een school bezien als een verzameling die verschillende klassen bevat, waarbij elke klas de verzameling leerlingen in die klas is. Sommige verzamelingen bevatten zelfs kopieën van zichzelf. De in dit boek beschreven verzameling van alle verzamelingen bevat ook zichzelf. Er zijn, uiteraard, vele verzamelingen die zichzelf niet bevatten. Neem bijvoorbeeld de verzameling van alle rode appels. Die bevat zichzelf niet omdat een rode appel geen verzameling is. Russell zou graag willen dat wij nadenken over de verzameling R van alle verzamelingen die zichzelf niet bevatten. Stel je nu de volgende vraag:

==

Bevat R zichzelf?

==

Als R zichzelf bevat, dan valt hij niet onder R, op grond van de definitie van wat R bevat. Maar als R zichzelf niet bevat, voldoet hij aan de vereiste om tot R te behoren en valt hij onder R. Dit is een contradictie, die gevisualiseerd wordt in figuur 2.3.

==

Figuur 2.3 Welk deel bevat R?

==

Deze paradox wordt doorgaans ‘opgelost’ door te stellen dat de verzameling R niet bestaat – dat wil zeggen dat de verzameling van alle verzamelingen die zichzelf niet bevatten geen valide verzameling is. En als je je wel met deze ongeldige verzameling inlaat, overschrijd je de grenzen van de rede. Waarom zou je je niet inlaten met deze verzameling R? Zij heeft een prima beschrijving van haar elementen. Zij lijkt zeker een valide verzameling. Niettemin moeten we ons beperken om contradicties te vermijden. De voor de hand liggende (en schijnbaar redelijke) opvatting dat er voor elke duidelijk geformuleerde beschrijving een verzameling is met zaken die aan die beschrijving voldoen, is niet meer voor de hand liggend (of redelijk). Voor de duidelijk geformuleerde beschrijving van ‘rode dingen’ is er een mooie verzameling van alle rode dingen. Maar voor de schijnbaar duidelijke beschrijving ‘alle verzamelingen die zichzelf niet bevatten’ is er geen verzameling met die eigenschap. Wij moeten ons beeld van wat evident is bijstellen.5

Russells paradox moet vergeleken worden met de andere paradoxen. Er zijn eenvoudige oplossingen voor de kappersparadox en de paradox van het naslagwerk: die concrete objecten bestaan domweg niet. En er is een eenvoudige oplossing voor de heterologische paradox: de menselijke taal wemelt van de contradicties en betekenisloze woorden. Maar bij Russells paradox staan we met de rug tegen de muur. Het is moeilijk om te stellen dat de verzameling R domweg niet bestaat. Waarom niet? Het is een welomschreven begrip. Een verzameling is geen concreet of door mensen gemaakt object. Het is niet meer dan een begrip. En toch voert dit schijnbaar onschuldige begrip ons voorbij de grenzen van de rede.

De leugenaarsparadox werd in één zin samengevat:

==

Deze zin is onwaar.

==

Hij kan ook worden samengevat door de volgende beschrijving:

==

De zin die zichzelf ontkent.

==

Zo kunnen de andere vier zelfreferentiële paradoxen ook samengevat worden door de volgende vier beschrijvingen:

==

– ‘De dorpeling die iedereen scheert die zich niet zelf scheert.’

– ‘Het woord dat alle woorden beschrijft die zichzelf niet beschrijven.’

– ‘Het naslagwerk dat alle boeken vermeldt die zichzelf niet vermelden.’

– ‘De verzameling die alle verzamelingen bevat die zichzelf niet bevatten.’

==

Zoals je kunt zien, hebben al deze beschrijvingen precies dezelfde structuur (dat geldt ook voor de figuren 2.1 tot en met 2.3). Telkens is er sprake van zelfreferentialiteit en zijn er contradicties mogelijk. Zulke contradicties zullen vermeden moeten worden en zullen een beperking vereisen. Overal in dit boek onderzoeken wij zulke beperkingen.

Voordat wij verdergaan naar de volgende sectie, is er een interessant resultaat waar we dieper over na moeten denken. Je zou denken dat elke taalparadox in een of andere vorm een zelfverwijzing bevat. Dat wil zeggen dat er een bepaalde cirkelredenering moet zijn die terugkeert bij zijn uitgangspunt. Dat werd algemeen aangenomen tot Stephen Yablo een ingenieuze paradox bedacht die Yablo’s paradox wordt genoemd. Neem de volgende oneindige reeks zinnen:

==

k1 ki is onwaar voor alle i > 1

k2 ki is onwaar voor alle i > 2

k3 ki is onwaar voor alle i > 3

. .

. .

. .

km ki is onwaar voor alle i > m

km+1 ki is onwaar voor alle i > m + 1

. .

. .

. .

kn ki is onwaar voor alle i > n

. .

. .

. .

==

Elke uitspraak verklaart dat alle verdere uitspraken onwaar zijn. Merk op dat geen enkele zin naar zichzelf verwijst en dat er ook geen lange reeks is waarin een zin naar zichzelf verwijst. Niettemin is dit een paradox omdat je niet kunt zeggen dat een van de zinnen waar of onwaar is. Stel je voor dat voor een bepaalde m geldt dat km waar is. km stelt dat alle km+1, km+2, km+3, ... onwaar zijn. Als we dat opsplitsen, blijkt dat km+1 onwaar is en dat alle km+2, km+3, ... onwaar zijn. Maar volgens km+1 zijn alle km+2, km+3, ... onwaar, waardoor km+1 waar wordt. Als wij ervan uitgaan dat km waar is, krijgen we dus een contradictie omtrent de status van km+1. Dit is te zien in figuur 2.4.

Stel je nu eens voor dat we er bij een willekeurige m van uitgaan dat km onwaar is. Dat betekent dat niet alle kn voor n > m onwaar zijn en dat er minstens één n > m bij kn waar is. Maar we hebben gezien dat we een contradictie krijgen zoals in figuur 2.5 als er ook maar één kn waar is.

==

Figuur 2.4 Yablo’s paradox – uitgaande van waarheid

==

Figuur 2.5 Yablo’s paradox – uitgaande van onwaarheid

==

Als we ervan uitgaan dat er ook maar één km waar of onwaar is, komen we uit op een contradictie. Dat is een contradictie zonder enige zelfreferentialiteit.

2.3 Het benoemen van getallen

Getallen zijn de meest exacte begrippen die we hebben. Er is niets vaags aan het begrip 42. Het is geen subjectief idee waarbij iedereen zijn eigen voorstelling heeft van wat 42 eigenlijk is. En toch zullen we zien dat er zelfs problemen zijn met de beschrijving van getalsmatige begrippen. Eerst een kort verhaaltje. Aan het begin van de twintigste eeuw ging de wiskundige G.H. Hardy (1877-1947) bij zijn vriend en medewerker, het genie Srinivasa Ramanujan (1887-1920), op bezoek. Hardy schrijft: ‘Ik herinner me dat ik een keer in Putney bij hem langsging toen hij ziek was. Nadat ik in een taxi met het nummer 1729 was gekomen, merkte ik op dat ik dat een nogal saai getal vond en hoopte dat het geen slecht voorteken was. “Nee,” antwoordde hij, “het is een heel interessant getal; het is het kleinste getal dat je op twee verschillende manieren kunt uitdrukken als de som van twee kubieke getallen.” ’6 In detail: 1729 is gelijk aan 1³ + 12³ maar het is ook gelijk aan 9³ + 10³. Omdat 1729 het kleinste getal is waarbij dit kan worden gedaan, is 1729 een ‘interessant’ getal.7

Dit verhaaltje brengt de paradox van het interessante getal aan het licht. Laten we even een rondje maken langs een aantal kleine gehele getallen. 1 is interessant omdat het het eerste getal is. 2 is het eerste priemgetal. 3 is het eerste oneven priemgetal. 4 is een getal met de interessante eigenschap dat 2 × 2 = 4 = 2 + 2. 5 is een priemgetal. 6 is een perfect getal – met andere woorden een getal waarvan de som van de bestanddelen gelijk is aan zichzelf (dat wil zeggen 6 = 1 × 2 × 3 = 1 + 2 + 3, enzovoort.). De eerste paar getallen hebben interessante eigenschappen. Elk getal dat geen interessante eigenschap heeft zouden we een ‘oninteressant getal’ moeten noemen. Wat is het kleinste oninteressante getal? Het kleinste oninteressante getal is een interessant getal. Daarmee bevinden we ons in een lastig parket.

Wat is hier misgegaan? De contradictie is ontstaan doordat wij dachten dat we alle getallen in twee groepen konden onderverdelen: interessante en oninteressante getallen. Dat is onjuist. Het is niet te definiëren wat een interessant getal is. Dat is een vage term en we kunnen niet zeggen wanneer een getal interessant of oninteressant is.8 ‘Interessant’ is een gevoel dat je soms hebt en is derhalve een subjectieve eigenschap. Van zo’n subjectieve eigenschap kunnen wij geen paradox maken.

==

Een serieuzere, aanverwante paradox heet Berry’s paradox. De sleutel tot inzicht in deze paradox is het feit dat hoe meer woorden je in een formulering gebruikt, hoe groter over het algemeen het getal is dat je kunt beschrijven. Het grootste getal dat met één woord kan worden beschreven is 90. Voor 91 heb je meer dan één woord nodig. Met twee woorden kun je negentig biljoen beschrijven. Negentig biljoen + 1 is het eerste getal waar meer dan twee woorden voor nodig zijn. Met drie woorden kun je negentig biljoen biljoen beschrijven. Voor het volgende getal (negentig biljoen biljoen + 1) zouden meer dan drie woorden nodig zijn. Zo ook geldt dat hoe meer letters een woord heeft, hoe groter het getal is dat je ermee kunt beschrijven. Met drie letters kun je in het Engels wel het getal 10 (‘ten’) beschrijven maar niet 11 (‘eleven’).

Laten we nog even bij het aantal woorden blijven. Noem een formulering die getallen beschrijft en minder dan elf woorden telt een ‘Berryformulering’. Neem nu de volgende formulering:

==

Het kleinste getal dat niet uitgedrukt kan worden met minder dan veertien woorden.

==

Deze formulering telt dertien woorden en beschrijft een getal, en zou dus een Berryformulering moeten zijn. Maar kijk eens naar het getal dat het wil beschrijven. Het getal zou niet uitgedrukt moeten kunnen worden in minder dan veertien woorden. Is dit getal uit te drukken in veertien woorden of minder? Dat is een echte contradictie.

We kunnen het ook hebben over andere maatstaven voor de complexiteit van een uitdrukking. Neem

==

het kleinste getal dat niet uitgedrukt kan worden met minder dan vijftig lettergrepen.

==

Deze zinsnede heeft minder dan vijftig lettergrepen. Een andere zinsnede,

==

het kleinste getal dat niet uitgedrukt kan worden met minder dan zeventig letters,

==

heeft 67 letters. Worden met deze beschrijvingen wel of geen getallen beschreven? En als er getallen mee worden beschreven, welke zijn dat dan? Ze beschrijven een bepaald getal alleen als ze dat getal niet beschrijven. Maar waarom niet? Het lijken allemaal goede, beschrijvende uitdrukkingen.

Een andere interessante paradox met betrekking tot het beschrijven van getallen is Richards paradox. Bepaalde formuleringen beschrijven reële getallen tussen 0 en 1. Bijvoorbeeld:

==

– ‘pi min 3’ = 0,14159

– ‘de kans dat je een 3 krijgt als je werpt met een dobbelsteen’ = 1/6

– ‘pi gedeeld door 4’ = 0,785

– ‘het reële getal tussen 0 en 1 waarvan de decimale weergave 0,55555 is’ = 0,55555

==

Noem al zulke formuleringen Richardformuleringen. Wij gaan een paradoxale zin beschrijven. Laten we de lange zin niet alleen maar opschrijven, maar er ook naartoe werken. Neem de formulering

==

het reële getal tussen 0 en 1 dat afwijkt van alle Richardformuleringen.

==

Als hiermee een getal zou worden beschreven, zou dat paradoxaal zijn, omdat de formulering een getal zou beschrijven en toch geen Richardformulering zou zijn. Maar er zijn veel reële getallen die afwijken van alle Richardformuleringen. Welk getal is het? Het probleem is dat deze formulering niet echt een exact getal beschrijft. Laten we proberen exacter te zijn. De verzameling Richardformuleringen is een deelverzameling van alle uitdrukkingen. Als zodanig kunnen zij geordend worden als de namen in een telefoonboek. We kunnen eerst alle Richardformuleringen van één woord ordenen, dan de formuleringen van twee woorden, enzovoort. Met zo’n geordende lijst kunnen we het hebben over nde Richardzin. Neem nu

==

het reële getal tussen 0 en 1 waarvan het nde cijfer afwijkt van het nde cijfer van de nde Richardformulering.

==

Hieruit blijkt slechts waarin het beschreven getal afwijkt van alle Richardformuleringen, maar het beschrijft nog altijd geen exact getal. Het getal dat door het tweeënveertigste Richardgetal wordt beschreven zou een 8 als het tweeënveertigste cijfer kunnen hebben. Op grond daarvan weten we dat onze formulering geen 8 kan hebben op de tweeënveertigste positie. Maar zou ons getal wel een 9 of een 6 op die positie moeten hebben? Laten we exact zijn:

==

Het reële getal tussen 0 en 1 dat wordt gedefinieerd door zijn nde cijfer als zijnde 9 min het nde cijfer van de nde Richardformulering.

==

Dat wil zeggen dat deze formulering een 4 zal beschrijven als het cijfer een 5 is. Als het cijfer een 8 is, zal deze formulering een 1 beschrijven. En als het cijfer een 9 is, zal zij een 0 beschrijven. Dit is een geldige formulering die een getal tussen 0 en 1 precies beschrijft, en toch wijkt zij af van elke andere Richardformulering. Zij beschrijft alleen een getal als zij geen getal beschrijft. Wat te doen?9

Deze laatste twee paradoxen kunnen gezien worden als zelfreferentiële paradoxen. In zekere zin kunnen ze samengevat worden door de volgende twee beschrijvingen:

==

– ‘de Berryformulering die afwijkt van alle Berryformuleringen’

– ‘de Richardformulering die afwijkt van alle Richardformuleringen’

==

Aldus bezien zijn het eenvoudige uitbreidingen van de leugenaarsparadox. Zelfverwijzingen komen heel vaak voor en wij moeten er voorzichtig mee zijn.

Verdere lectuur

Veel van de paradoxen zijn te vinden in boeken zoals Quine (1966), Hofstadter (1979, 2007), Barrow (1999), en Poundstone (1989). Sorenson (2003) is een duidelijke, goed geschreven inleiding tot de paradox. Hoofdstuk 5 van Sainsbury (2007) gaat over de leugenaarsparadox en andere vormen van zelfreferentialiteit. Hoofdstuk 3 van Paulos (1980) biedt een humoristische kijk op alle zelfreferentiële paradoxen. Yablo’s paradox is te vinden in Yablo (1993).

Een formele versie van zelfreferentiële paradoxen is te vinden in Yanofsky (2003), dat gebaseerd is op Lawvere (1969).

==

3
Filosofische raadsels

Hoewel deze opvattingen logisch lijken te volgen uit een dialectische discussie, lijkt het bijna waanzin om erin te geloven als je stilstaat bij de feiten. Want geen krankzinnige lijkt zozeer van zijn zinnen beroofd.

– Aristoteles (384-322 v.Chr.), 325a15

==

Het zijn allemaal gekken, maar degene die zijn waan kan analyseren wordt een filosoof genoemd.

– Ambrose Bierce, Alle verhalen

==

Het hangt ervan af wat de betekenis van het woord ‘is’ is.

– William Jefferson Clinton

==

Lang voordat moderne wetenschappers de taak op zich namen om de grenzen van de rede te onderzoeken, analyseerden filosofen de complexiteiten van onze wereld en onze kennis ervan. In dit hoofdstuk neem ik een aantal van de oude en eigentijdse filosofische aspecten van de beperkingen van de rede onder de loep.

In sectie 3.1 begin ik met een bespreking van enkele zeer fundamentele vragen over concrete en abstracte objecten en de manier waarop wij die definiëren. In sectie 3.2 wordt de aard van ruimte, tijd en beweging geanalyseerd met gebruikmaking van een paar paradoxen van Zeno. De sectie eindigt met een korte discussie over paradoxen omtrent reizen door de tijd. Sectie 3.3 gaat over vaagheid. Sectie 3.4 draait om het idee van kennis en de beschikking over informatie. Deze secties staan los van elkaar en van de rest van de hoofdstukken. Ze kunnen in elke volgorde gelezen worden.

3.1 Schepen, mensen en andere objecten

In het oude Griekenland leefde een legendarische koning die Theseus heette en naar verluidt de stad Athene heeft gesticht. Omdat hij vele zeeslagen had geleverd heeft het volk van Athene een gedenkteken te zijner ere opgericht door zijn schip in de haven te bewaren.1 Dit ‘schip van Theseus’ heeft daar honderden jaren gelegen. Mettertijd begon een deel van de houten planken van Theseus’ schip weg te rotten. Om het schip mooi en heel te houden werden de rotte planken vervangen door nieuwe planken van hetzelfde materiaal. De kernvraag is: Is het nog steeds hetzelfde schip van Theseus als je een van de planken vervangt? Deze vraag over een mythisch schip is het zinnebeeld van een van de interessantste problemen in de hele filosofie, namelijk het probleem van de identiteit. Wat is een fysiek object? Hoe blijven dingen hetzelfde ook nadat ze veranderd zijn? Wanneer wordt een object anders? Als we het over een bepaald object hebben en zeggen dat ‘het veranderd is’, wat is ‘het’ dan precies?

Wat gebeurt er als je een paar planken van het schip vervangt? Zou dat daardoor minder het oorspronkelijke schip zijn dan als je één plank vervangt? En wat als het schip uit honderd planken bestaat en daarvan negenenveertig worden vervangen? Of eenenvijftig? Stel dat er negenennegentig van de honderd planken worden vervangen. Is die ene plank onder in het schip genoeg om de oorspronkelijke verheven status van het schip te behouden? En stel dat alle planken worden vervangen. Als de verandering geleidelijk is, houdt het schip dan nog steeds zijn status als het schip van Theseus? Hoe geleidelijk moet de verandering zich voltrekken?

We geven geen antwoord op deze vragen omdat er gewoon geen objectief juiste antwoorden zijn. Sommigen beweren dat het schip verandert als je één plank vervangt en dat het daardoor niet meer het schip van Theseus is. Anderen zeggen dat het nog steeds het origineel is, zolang er nog minstens één plank van het origineel over is. Er zijn ook mensen die beweren dat het veranderde schip altijd hetzelfde is als het oorspronkelijke schip omdat het de vorm van het origineel heeft. Geen van deze verschillende meningen is fout. Maar er is ook geen reden om te zeggen dat één ervan de juiste is.

Laten we nog wat vragen stellen over onze zwaarbeproefde boot. Wat gebeurt er als we de oude houten planken vervangen door modernere plastic planken? Naarmate we steeds meer planken vervangen, zal het schip in toenemende mate uit een ander materiaal bestaan dan het origineel. Wat gebeurt er als de mensen die de planken vervangen fouten maken bij het aanbrengen van de nieuwe planken en het schip een iets andere vorm krijgt? Nog een vraag: Maakt het uit wie er verantwoordelijk is voor al deze veranderingen aan het schip – dat wil zeggen, of de ene groep arbeiders het doet of de andere? Als het schip honderden jaren behouden moet blijven, dan zullen de veranderingen ongetwijfeld het werk zijn van veel verschillende mensen. Stel dat we zoveel veranderingen aan het schip aanbrengen dat het niet meer de zee op kan. Kunnen we het dan nog steeds het schip van de machtige Theseus noemen als het niet dezelfde functie kan vervullen als het origineel?2

Je kunt eindeloos doorgaan met zulke vragen. Ik zal me beheersen en nog maar één scenario bespreken. Stel je voor dat we de oude planken niet op de schroothoop gooien maar in een pakhuis opslaan telkens als we een plank vervangen. Na enige tijd wordt er van alle oude planken een schip gemaakt. Deze nieuwe constructie ziet er net zo uit als het oude schip en alle planken bevinden zich op hun oorspronkelijke plaats. Vraag: welk schip heeft het recht om zich het schip van Theseus te noemen, het schip met de vervangen planken of het schip dat met de oude planken is gebouwd?

Een veelgehoord antwoord op een aantal van deze vragen is dat het schip hetzelfde blijft omdat de veranderingen zich geleidelijk voltrekken. Maar het is niet duidelijk waarom dat iets uit zou maken. Hoe geleidelijk moeten de veranderingen zijn om het oorspronkelijke schip zijn status te laten behouden? Is er een minimumsnelheid voor veranderingen? Om de vraag wat ‘geleidelijk’ is in het juiste perspectief te zien, staan we even stil bij de bijl van Washington. Een bepaald museum wilde de bijl van de grondlegger van de Verenigde Staten bewaren. De bijl bestond uit twee delen: een handvat en een kop. Mettertijd ging het houten handvat rotten en de metalen kop roesten. Indien nodig werd elk van deze twee delen vervangen. In de loop der jaren werd de kop vier keer vervangen en het handvat drie keer. Is het nog steeds de bijl van Washington? Let wel, de verandering is in dit geval niet geleidelijk. Telkens als er een verandering wordt aangebracht, wordt de helft van de bijldelen vervangen.

Onze discussie beperkt zich niet tot schepen en bijlen. Een boom is ’s zomers welig en groen en ’s winters kaal en bruin. Bergen stijgen en dalen. Auto’s en computers worden geüpdate. Elk fysiek object is mettertijd aan verandering onderhevig. Dat is de betekenis van de beroemde uitspraak van Heraclitus dat je niet tweemaal in dezelfde rivier kunt stappen. Voor Heraclitus verandert de rivier op elk moment.

Fysieke objecten zijn niet de enige dingen die veranderen. Bedrijven, instellingen en organisaties zijn ook dynamische entiteiten die voortdurend veranderen en zich ontwikkelen. Barings Bank bestond van 1762 tot en met 1995. In dit tijd veranderden alle eigenaars, medewerkers en klanten. De Brooklyn Dodgers zijn er al sinds 1883. De spelers, managers, eigenaars en fans zijn onmiskenbaar veranderd. Wat blijft er hetzelfde aan een honkbalteam? Nadat ze hun geboorteplaats zo harteloos hebben verraden, kunnen de Dodgers niet eens beweren dat ze nog in dezelfde stad spelen als ze oorspronkelijk deden. Op universiteiten zijn er om de vier jaar andere studenten. Zelfs de hoogleraren veranderen in de loop der jaren. Het enige echte hart van een universiteit zijn de beminde secretaresses. Maar helaas veranderen zelfs zij. Politieke partijen zijn ook niet gevrijwaard van veranderingen. De Democratische Partij werd in de jaren negentig van de achttiende eeuw opgericht om de rechten van de afzonderlijke staten te laten prevaleren boven de nationale rechten, het tegenovergestelde van hun huidige programma. Alles verandert!

We praten niet alleen over verandering. We hebben het veeleer over wat het voor een object betekent dat het dat object is. Wat betekent het voor een bepaalde instelling dat zij die instelling is? Als wij zeggen dat een bepaald object verandert, bedoelen we dat het eerst een bepaalde eigenschap had, die het na de verandering niet meer heeft. Aanvankelijk had het schip van Theseus planken die Theseus zelf had aangeraakt. Uiteindelijk waren er planken die hij nooit had aangeraakt. Dat is een verandering in de eigenschappen van het schip. Onze kernvraag is: Wat zijn de fundamentele eigenschappen van het schip van Theseus? Wij hebben aangetoond dat er geen duidelijke antwoorden op deze vraag zijn.

==

De discussie wordt veel interessanter als we het niet meer over oude schepen maar over mensen hebben. Iedereen verandert in de loop der tijd. Van zuigelingen veranderen we in oude mensen. Welke eigenschappen heeft een kind van drie met zichzelf gemeen als het drieëntachtig is? Deze filosofische vragen worden de problemen van de persoonlijke identiteit genoemd. Wat zijn de eigenschappen waaruit iemand bestaat? We zijn niet dezelfde persoon die we enkele jaren geleden waren. Niettemin beschouwt men ons nog steeds als dezelfde persoon.

Naar aanleiding van deze vraag belanden filosofen doorgaans in verschillende kampen. Sommige denkers hangen het idee aan dat iemand in wezen zijn lichaam is. We hebben allemaal een ander lichaam en kunnen zeggen dat iedereen geïdentificeerd wordt aan zijn of haar lichaam. Als wij stellen dat een mens zijn lichaam is, worden we geconfronteerd met dezelfde onoplosbare vragen als bij het schip van Theseus en andere fysieke objecten. Ons lichaam verandert voortdurend. Oude cellen sterven en er komen voortdurend nieuwe cellen bij. In feite zijn de meeste cellen in ons lichaam om de zeven jaar vervangen. Dit leidt tot honderden vragen die filosofen zich in de loop der eeuwen gesteld hebben. Waarom zou iemand na zeven jaar nog in de gevangenis moeten blijven? Tenslotte heeft ‘hij’ de misdaad niet gepleegd. Het was iemand anders. Zou iemand iets na zeven jaar nog moeten bezitten? De oude persoon was degene die het gekocht heeft. In welke zin is iemand hetzelfde als er bij hem of haar een ledemaat is geamputeerd? Schrijvers van sciencefiction zijn er goed in om prikkelende vragen aan de orde te stellen zoals klonen, geestverhuizing, eeneiige tweelingen, Siamese tweelingen en andere interessante thema’s die verband houden met het idee dat iemand gelijkstaat aan zijn of haar lichaam. Als een amoebe zich deelt, welk deel is dan het origineel en welk deel de dochtercel? Als je lichaam cellen verliest, verliest het atomen. Die atomen kunnen vervolgens deel uitmaken van anderen. Zo kunnen ook de atomen van anderen een deel van jouw lichaam worden. En hoe zit het met de dood? Als iemand dood is, zien we dat doorgaans als het eind van zijn of haar bestaan, ook al is het lichaam er nog wel. Soms gebruiken we zinnen als ‘Ze ligt hier begraven’ alsof ‘ze’ nog steeds een persoon is. En soms gebruiken we zinnen als ‘Zijn stoffelijk overschot ligt daar begraven’ alsof er een verschil is tussen ‘hem’ en zijn lichaam. Kortom, het is problematisch om te zeggen dat een mens gelijkstaat aan zijn of haar lichaam.

Andere denkers zijn aanhangers van de gedachte dat mensen eigenlijk hun geest of hun psyche zijn. Tenslotte zijn mensen niet alleen maar hun lichaam. Iemand is meer dan een fysiek object omdat hij kan denken. Voor zulke filosofen is iemand een voortdurende bewustzijnsstroom – herinneringen, intenties, gedachten en verlangens. Dat brengt ons op andere onoplosbare vragen: Wat als iemand aan geheugenverlies leidt? Is hij of zij dan nog steeds dezelfde persoon? Verandert iemands persoonlijkheid niet in de loop der tijd? Wie is jouw echte zelf: degene die dolverliefd is op iemand of degene die twee maanden later genoeg heeft van diezelfde persoon? Er kunnen letterlijk honderden vragen gesteld worden over veranderingen in iemands gedachten, herinneringen en verlangens. En wederom zijn filosofen en sciencefictionschrijvers heel goed geworden in het beschrijven van interessante scenario’s die ons idee van een mens als een voortdurende stroom van gemoedstoestanden in twijfel trekken. In die scenario’s gaat het om de ziekte van Alzheimer, geheugenverlies, persoonlijkheidsveranderingen, experimenten met gescheiden hersenen, meervoudige persoonlijkheidsstoornissen, computers als denkende wezens, enzovoort. Er zijn ook veel vragen in de lijn van het geest-lichaamprobleem. In hoeverre staat de geest – waardoor een mens wordt gekenmerkt – los van de hersenen, die een deel van het lichaam zijn?

Een van de interessantere uitdagingen voor het standpunt dat een mens wordt gekenmerkt door de continuïteit van zijn of haar gemoedstoestanden is de vraag naar de transitiviteit van de identiteit. Mijn gemoedstoestanden zijn in wezen dezelfde als tien jaar geleden. Dat betekent dat ik dezelfde ben die ik tien jaar geleden was. Verder waren mijn gemoedstoestanden tien jaar geleden in wezen dezelfde als tien jaar daarvoor. Daarom is degene die ik tien jaar geleden was dezelfde als degene die ik twintig jaar geleden was. Hoe kan het dan dat ik dezelfde ben als ik tien jaar geleden was, en dat die persoon dezelfde is als ik twintig jaar geleden was maar ik níét dezelfde was als twintig jaar geleden?

Nog een andere mogelijkheid is dat iedereen een unieke ziel heeft die bepaalt wie hij of zij is. Laten we vragen naar de definitie of het bestaan van een ziel vermijden en ons in plaats daarvan erop concentreren hoe dit onze vraag naar de fundamentele aard van een mens beantwoordt. Aangenomen dat de ziel bestaat, wat is dan de relatie tussen de ziel en het lichaam? Wat is de relatie tussen een ziel en iemands daden, psyche en persoonlijkheid? Als er geen verband is, waarin verschilt de ene ziel dan van de andere? Hoe kun je een onderscheid maken tussen zielen als ze geen invloed hebben op enig deel van jou? Wat zou het doel van een ziel dan zijn? Als er daarentegen wel een verband bestaat, verandert de ziel dan als het lichaam, het handelen, de psyche of de persoonlijkheid verandert? Is de ziel aan verandering onderhevig? Als dat het geval is, zijn we weer terug bij dezelfde vragen die we eerder gesteld hebben: Wie ben je werkelijk? Ben je degene met de ziel vóór de verandering of ben jij degene met de veranderde ziel?

De meeste mensen houden er waarschijnlijk een opvatting op na die het midden houdt tussen de drie ideologieën: iemand is een samenstel van lichaam, geest en ziel. Niettemin zijn al die denkwijzen enigszins problematisch.

Laten we in plaats van de in deze sectie gestelde vragen te beantwoorden proberen om de problemen op te lossen door te overpeinzen waarom er op geen van die vragen duidelijke antwoorden zijn. Hoe komt het dat we zoveel verschillende antwoorden krijgen als we deze vragen aan verschillende mensen stellen?

Kijk hoe mensen leren om verschillende objecten te herkennen, hoe ze tot definities komen en onderscheid maken. In het begin worden baby’s gebombardeerd met vele verschillende ervaringen en prikkels. Wanneer peuters groter worden, leren ze objecten in de wereld te herkennen. Als ze bijvoorbeeld een glimmend zilveren ding met gelig spul op hen af zien komen, moeten ze leren dat het een lepel met appelmoes is en dat ze hun mond open moeten doen. Doordat ze leren herkennen dat de fysieke prikkel van zilver met gelig spul appelmoes is, wordt het leven voor hen beter hanteerbaar. Mensen moeten objecten classificeren. We leren hoe we dingen van elkaar moeten onderscheiden en hoe we moeten vaststellen dat ze hetzelfde zijn. We leren dat een object er nog steeds is als we het niet zien (‘de permanentie van het object’). Na enige tijd leren kinderen hun moeder herkennen. Een paar maanden later leren ze dat ze ook met make-up (als ze er anders uitziet) nog steeds dezelfde persoon is. Kinderen moeten leren dat hun moeder dezelfde is, ook als ze parfum draagt en heel anders ruikt. Hier gedragen peuters zich als filosofen en leren ze hoe ze verschillende vragen omtrent de persoonlijke identiteit moeten aanpakken. Met al deze vaardigheden leggen kinderen orde en structuur op aan de complexe wereld waar ze nu bij horen. Voordat ze die vaardigheden onder de knie hebben, worden ze overspoeld door een onbegrijpelijke stroom prikkels en ervaringen. Met deze classificatievaardigheden kunnen kinderen hun omgeving begrijpen en beginnen te beheersen. Als ze die vaardigheden niet leren, zullen ze overweldigd worden door externe prikkels en niet met hun omgeving om kunnen gaan.

Met genoeg verfijning leren kinderen ook om abstracte entiteiten te classificeren. Zo kunnen ze leren wat het betekent om een gezin te zijn. Hun moeder is een lid van het gezin. Hun vader, broers en zussen ook. En hoe zit het met volle neven en nichten? Achterneven en -nichten? Die zijn een beetje vaag. Ze zijn wel familieleden, maar geen lid van het gezin. Kinderen moeten leren wat familie is en wat niet. Als ze ouder worden leren ze nog abstractere dingen classificeren, zoals getallen en politieke partijen.

Kinderen leren niet alleen om mensen en dingen te classificeren, maar ook om ze te benoemen. Ze beseffen dat ze leven in een samenleving van andere classificeerders, en om met die dwangmatige classificeerders te communiceren, volgen ze hun voorbeeld en geven ze de dingen een naam. Eerst geven ze zelf een naam aan de externe prikkels. Naarmate hun communicatieve vaardigheden zich ontwikkelen, leren ze om die namen op te geven en de namen te gaan gebruiken die andere mensen aan de dingen geven. Dan noemen ze gelig spul ‘appelmoes’. Ze leren de vrouw die hen verzorgt ‘mama’ te noemen, ongeacht of ze al dan niet make-up draagt. Door dezelfde namen als anderen te gebruiken tonen kinderen de samenleving dat ze zich conformeren aan het gangbare classificatiesysteem en dat hun denkprocessen lijken op die van anderen. Vervolgens beloont de samenleving hen door hen te overladen met liefde en hun de bescherming te bieden die ze nodig hebben.

Het gaat erom dat het classificeren en benoemen van dingen aangeleerde vaardigheden zijn. Kinderen leren niet de exacte definities van dingen omdat ze nooit aan exacte definities worden blootgesteld. Ze leren om fysieke prikkels te classificeren en te benoemen. Sommige begrippen zijn exact en onveranderlijk. Het concept van het getal 4 is exact en heeft een duidelijke definitie. Maar veel andere begrippen hebben geen heldere definitie. Uit het eerste deel van deze sectie blijkt dat zelfs fysieke objecten niet helder gedefinieerd zijn.

Met dit in gedachten kunnen we het hebben over de vele vragen die aan het begin van deze sectie zijn gesteld. Is het schip van Theseus hetzelfde als er één plank is vervangen? Het juiste antwoord is dat onze definitie van het schip niet duidelijk genoeg is om die vraag te beantwoorden. Er is geen exacte definitie voor het schip van Theseus. We hebben alleen wat we geleerd hebben – dat wil zeggen, de prikkels die wij met het schip hebben leren associëren.

Het schip van Theseus bestaat niet echt als het schip van Theseus. Er is geen exacte definitie van wat er onder het schip van Theseus wordt verstaan. Het bestaat als een verzameling gewaarwordingen maar niet als object. Ja, als je er een schop tegenaan geeft, zul je pijn aan je tenen voelen. Als je ernaar kijkt, zul je bruin hout zien. Als je eraan likt, zul je muf hout en zout water proeven. Maar dat zijn allemaal slechts gewaarwordingen die je leert te associëren met iets wat wij het ‘schip van Theseus’ noemen. Mensen combineren die gewaarwordingen en creëren daarmee het schip van Theseus. Natuurlijk bestaat het schip uit atomen. Maar het is gemaakt van atomen als atomen.3 De atomen zijn niet gelabeld als de atomen van het schip. Bovendien zijn wij het die van die atomen een heel ding maken dat een schip heet. Wij zijn degenen die vervolgens van dit schip zeggen dat het op de een of andere manier van de mythische generaal Theseus is geweest. In het eerste deel van deze sectie zijn veel voorbeelden gegeven waaruit blijkt hoe het schip atomen kan verliezen, hoe de atomen ervan kunnen veranderen, terwijl het toch hetzelfde schip blijft. Dat speelt zich allemaal af in onze geest. Wij hebben geluk dat wij samenleven met andere mensen die hebben geleerd om dezelfde namen te geven aan veelvoorkomende externe prikkels. Ieder van ons noemt diezelfde prikkels het ‘schip van Theseus’. Omdat we allemaal instemmen met die conventionele benaming, laten we elkaar niet opnemen in een krankzinnigengesticht. Niettemin is het bestaan van het schip van Theseus een illusie.

Er zijn momenten dat we exacte definities leren en alle vragen kunnen beantwoorden die daarop gebaseerd zijn. Zo leren we dat we te hard rijden als we meer dan 100 kilometer per uur rijden. Dus als mensen 104 kilometer per uur rijden, gaan ze te hard; als ze 99 kilometer per uur rijden, gaan ze niet te hard. Daar zijn we heel duidelijk in. Maar voor de meeste fysieke objecten zijn er geen objectieve definities.

Een soortgelijke discussie kun je voeren over esthetische vraagstukken. De meeste mensen zullen het erover eens zijn dat er geen juiste antwoorden zijn als het op kwesties van smaak aankomt. Wat de een mooi vindt, vindt de ander lelijk. De huidige generatie kunstkenners zou miljoenen dollars uitgeven voor elke schets van Vincent van Gogh. In zijn eigen tijd werd Van Gogh genegeerd en waren zijn schilderijen geen schijntje waard. Welke generatie heeft het juiste oordeel over het werk van Van Gogh? Op deze vraag bestaat geen antwoord want er is niet zoiets als een objectieve esthetiek. Het is een kwestie van smaak. Zo is er ook geen beslissend antwoord op de vraag of een schip verandert als je er een plank van vervangt, want objectief gezien is er niet zoiets als het schip van Theseus.