••

In een wereld waarin je voortdurend wordt overspoeld met informatie is kritisch blijven denken belangrijker dan ooit. Met name op internet vliegen de misleidende data, halve waarheden en regelrechte leugens je om de oren. Maar hoe maak je onderscheid tussen feit en fictie? Hoe weet je welke bron je nog kunt vertrouwen als zelfs kranten en de overheid het regelmatig mis hebben?

•••

Levitin legt uit hoe je onjuiste informatie kunt herkennen en onthult hoe mensen vaak handig misbruik maken van statistiek, psychologie en logica om zaken mooier voor te stellen dan ze zijn of zelfs ronduit te liegen. Het boek bevat aansprekende voorbeelden en is gebaseerd op talloze wetenschappelijke onderzoeken.

•••

Lees dit boek en laat je niet langer voor de gek houden door verdraaide cijfers en rammelende argumenten!

••

Van Daniel Levitin verschenen eerder

•••

Ons muzikale brein

Een opgeruimde geest

••

Daniel Levitin

Uit onbetrouwbare bron

•••

De veldgids om leugens, manipulaties

en misvattingen te doorzien

•••

•••

•••

Uitgeverij Atlas Contact

Amsterdam/Antwerpen

••

Colofon

•••

© 2016 Daniel J. Levitin

All rights reserved.

© 2016 Nederlandse vertaling Uitgeverij Atlas Contact

Vertaling Carla Zijlemaker

Oorspronkelijke titel A Field Guide to Lies. Critical Thinking in the Information Age

Oorspronkelijke uitgever Dutton

Omslagontwerp Bart van den Tooren

Afbeelding omslag Marcus Miranda/Shutterstock

E-book Zeno

•••

ISBN 978 90 470 0978 8

D/2016/0108/779

NUR 770

•••

Dit e-book werd gemaakt op basis van de eerste druk, 2016, ISBN 978 90 470 0906 1.

•••

www.atlascontact.nl

••

Voor Shari

Haar onderzoekende geest heeft mij tot een betere denker gemaakt

•••

Inleiding | Kritisch denken

•••

Dit boek gaat over manieren waarop je problemen ontdekt in de informatie waar je mee te maken krijgt, problemen die ertoe kunnen leiden dat je de verkeerde conclusie trekt. Soms hopen de mensen die je de feiten aanreiken dat je de verkeerde conclusie zult trekken; soms zien ze zelf het verschil niet. Informatie is tegenwoordig bijna onmiddellijk beschikbaar, maar het wordt steeds moeilijker om uit te maken wat waar is en wat niet, om de verschillende beweringen die we voorgeschoteld krijgen te beoordelen, en te bepalen of ze foute informatie, pseudofeiten, verdraaiingen van de werkelijkheid of regelrechte leugens bevatten.

We kunnen op allerlei manieren worden misleid door snel pratende, losjes schrijvende informatieverspreiders. Ik heb ze in twee categorieën ondergebracht, en deze vormen de eerste twee delen van dit boek: een deel over cijfers en een deel over taal. De eerste categorie omvat verkeerd gebruikte statistieken en grafieken en de tweede bevat verkeerd gebruikte argumenten en tips om nieuws, uitspraken en rapporten beter te beoordelen. In het derde en laatste deel van dit boek gaan we in op wat er ten grondslag ligt aan ons vermogen om te bepalen of iets waar is of niet: de wetenschappelijke methode. Het gaat over de grenzen van wat we al dan niet kunnen weten, maar ook over wat we nu weten en wat we nog niet weten, en over een aantal toepassingen van logisch denken.

Het is gemakkelijk om te liegen met gebruikmaking van statistieken en grafieken omdat slechts weinig mensen de tijd nemen om onder de motorkap te kijken en te zien hoe ze werken. Ik wil daar graag iets aan doen. Als je argumenten die niet kloppen meteen herkent, kun je vaststellen of een redenering tot een geldige conclusie leidt. Dit is een aspect van informatiegeletterdheid – erkennen dat er een hiërarchie is in de kwaliteit van bronnen, dat pseudofeiten zich gemakkelijk kunnen voordoen als feiten, en dat vooroordelen de informatie die we aangeboden krijgen kunnen vervormen, en dat dit alles tot onjuiste conclusies kan leiden.

Misschien vind je dat het niet jouw taak is om statistieken kritisch te beoordelen. Kranten, bloggers, de overheid, Wikipedia en anderen zouden dit voor ons moeten doen. Dat is waar, maar dat doen ze niet altijd. We moeten allemaal kritisch en zorgvuldig nadenken over de getallen en de woorden die we tegenkomen als we succesvol willen zijn in ons werk, in onze vrije tijd en in ons leven. Dit betekent dat we cijfers, redenering en bronnen moeten controleren op aannemelijkheid en geldigheid. Dit betekent dat je ze zo goed mogelijk onderzoekt voordat je ze overneemt of gebruikt om een mening te vormen. Het gaat om het vermijden van de uitersten van lichtvaardig elke bewering die we lezen accepteren, of cynisch elke uitspraak die we horen verwerpen. Kritisch denken betekent niet dat we alles afwijzen, het betekent dat we proberen onderscheid te maken tussen beweringen met en beweringen zonder bewijzen.

Soms bestaan bewijzen uit getallen en moeten we ons afvragen: ‘Waar komen die getallen vandaan? Hoe zijn ze verzameld?’ Soms zijn getallen absurd, maar vraagt het enige reflectie om dat te zien. Soms lijken beweringen redelijk, maar zijn ze afkomstig van een bron die niet geloofwaardig is, zoals iemand die zegt getuige te zijn geweest van een misdaad terwijl hij niet echt aanwezig was. Dit boek kan je helpen voorkomen dat je een heleboel dingen te weten komt die niet waar zijn. [1] En al doende kun je misschien een paar leugenaars ontmaskeren.

We hebben de afgelopen vijf jaar meer informatie geproduceerd dan in de hele geschiedenis van de mensheid. Helaas vind je op websites en in sociale media, boeken en video’s naast dingen die waar zijn ook enorm veel dingen die niet waar zijn. Dat is op zich geen nieuw probleem. Verkeerde informatie hoort al duizenden jaren bij het leven en is al terug te vinden in de Bijbel en in documenten uit de Griekse Oudheid. [2] Het unieke probleem waar we nu voor staan, is dat de hoeveelheid verkeerde informatie is geëxplodeerd en dat die zich op internet op duivelse wijze heeft verstrengeld met echte informatie, waardoor die twee moeilijk meer van elkaar te onderscheiden zijn. En verkeerde informatie is niet kieskeurig – het is iets wat zich ophoudt bij mensen van alle sociale klassen en opleidingsniveaus, en verschijnt op plekken waar je dat niet verwacht. Het verspreidt zich als iemand het doorgeeft aan iemand anders, en die weer aan iemand anders, en als het via sociale media als Twitter, Facebook en Snapchat de hele wereld over gaat; verkeerde informatie kan zo algemeen bekend worden, en plotseling geloven een heleboel mensen dingen die niet waar zijn.

•••

•••

[1.] Naar D. Huff (1954/1993). How to Lie with Statistics. New York: W.W. Norton & Company, p. 19. Zoals later in het boek zal blijken, praatte hij waarschijnlijk Mark Twain na, of Josh Billings, of Will Rogers, of wie dan ook.

[2.] Abraham geeft misinformatie over de identiteit van zijn vrouw Sarah aan koning Abimelech om zichzelf te beschermen. Het paard van Troje was een soort misinformatie; het leek een cadeau, maar er bleken soldaten in te zitten.

•••

•••

Deel 1 | Getallen beoordelen

•••

Je komt niet in de problemen door wat je niet weet, maar door wat je denkt te weten en wat toch niet waar is.

– Mark Twain

Aannemelijkheid

•••

Omdat statistieken getallen zijn, lijken het koude, harde feiten. Het lijkt alsof ze voor zekerheden staan die ons door de natuur gegeven zijn, en je ze alleen maar hoeft te vinden. Maar je moet in gedachten houden dat statistieken worden verzameld door mensen. Mensen bepalen wat ze tellen, hoe ze dat tellen aanpakken, welke van de getallen die daaruit ontstaan ze met ons delen en welke woorden ze gebruiken om getallen te beschrijven en te interpreteren. [1] Statistieken zijn geen feiten. Het zijn interpretaties. En jouw interpretatie is misschien wel net zo goed als of beter dan die van degene die ze wereldkundig maakt.

Soms kloppen de getallen gewoon niet, en vaak is het het gemakkelijkst om te beginnen met een snelle aannemelijkheidstest. Ook als de getallen aannemelijk lijken, zijn er nog drie gebieden waarop het fout kan gaan waardoor je dingen gelooft die niet waar zijn: de manier waarop de getallen zijn verzameld, hoe ze worden geïnterpreteerd, en hoe ze grafisch worden weergegeven.

In je hoofd of op de achterkant van een envelop kun je snel vaststellen of een bewering aannemelijk is (meestal). Accepteer een bewering niet zonder meer; onderzoek hem nog wat verder.

Als je de aannemelijkheid van een bewering test, gaat het niet om de exacte getallen. Dat gaat misschien tegen je gevoel in, maar precisie is hierbij niet belangrijk. We kunnen vaak gebruikmaken van ons gezonde verstand: als Bert zegt dat een kristallen wijnglas zonder te breken van tafel is gevallen op een dik tapijt, lijkt dat aannemelijk. Als Ernie zegt dat het van het dak van een veertig verdiepingen hoog gebouw op straat is gevallen zonder te breken, is dat niet aannemelijk. Je weet dit dankzij je kennis van de wereld, de ervaring die je in de loop van de tijd hebt opgedaan. Ook als iemand zegt dat hij tweehonderd jaar oud is, dat hij de roulettetafel in Las Vegas herhaaldelijk kan verslaan of dat hij zestig kilometer per uur loopt, zijn dat geen aannemelijke uitspraken.

Wat zou je met deze uitspraak doen?

•••

In de vijfendertig jaar dat de marihuanawetten in Californië niet meer worden gehandhaafd, is het aantal marihuanarokers elk jaar verdubbeld.

•••

Is dit aannemelijk? Waar begin je? Laten we ervan uitgaan dat er vijfendertig jaar geleden slechts één marihuanaroker was in Californië, een zeer voorzichtige schatting (er waren in 1982 een half miljoen marihuana-aanhoudingen in de gehele VS). Als je dat getal vijfendertig jaar lang elk jaar verdubbelt, kom je uit op meer dan 17 miljard – meer dan de hele wereldbevolking. (Probeer het zelf en je zult zien dat als je eenentwintig jaar lang elk jaar verdubbelt vanaf het getal 1, je uitkomt op meer dan een miljoen: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192, 16 384, 32 768, 65 536, 131 072, 262 144, 524 288, 1 048 576.) Deze bewering is niet alleen niet aannemelijk, maar zelfs onmogelijk. Helaas vinden veel mensen getallen intimiderend en kost het hun moeite om er helder over te denken. Maar zoals je ziet, heb je niet meer dan simpel basisschoolrekenen nodig en een paar redelijke aannames.

Hier is er nog een. Je hebt net een nieuwe baan gekregen als telemarketeer, waarbij verkopers nietsvermoedende (en ongetwijfeld geïrriteerde) potentiële klanten bellen. Je baas probeert je te motiveren en beweert het volgende.

•••

Onze beste verkoper deed duizend verkopen per dag.

•••

Is dat aannemelijk? Toets zelf een telefoonnummer in – dat zal toch zeker vijf seconden duren. Reken dan nog eens vijf seconden voor het overgaan van de telefoon. Laten we er nu van uitgaan dat elk gesprek uitmondt in een verkoop – dit is uiteraard niet realistisch, maar laten we deze claim het voordeel van de twijfel geven om te kijken of het werkt. Ga uit van minimaal tien seconden om een verkooppraatje te houden en een deal te sluiten, dan nog veertig seconden om het creditcardnummer en adres van de koper te krijgen. Dan kom je uit op één telefoontje per minuut (5 + 5 + 10 + 40 = 60 seconden), of zestig verkopen per uur, of 480 verkopen op één buitengewoon hectische achturige werkdag zonder pauzes. Zelfs volgens de meest optimistische schattingen is duizend verkopen gewoon niet aannemelijk.

Andere beweringen zijn moeilijker te toetsen. Dit is een kop uit Time in 2013.

•••

Meer mensen hebben mobiele telefoons dan toiletten. [2]

•••

Wat doen we hiermee? We kunnen kijken naar het aantal mensen in de derde wereld dat geen riolering heeft en de waarneming dat veel mensen in ontwikkelde landen meer dan één mobiele telefoon hebben. De bewering lijkt aannemelijk – maar dat betekent niet dat we haar ook moeten accepteren, alleen dat we haar niet direct van de hand kunnen wijzen. We moeten andere technieken gebruiken om de bewering te beoordelen, maar ze komt in elk geval door de aannemelijkheidstest.

Soms kun je een claim niet beoordelen zonder zelf wat onderzoek te doen. Kranten en websites zouden dit natuurlijk voor je moeten doen, maar dat doen ze niet altijd, en zo krijgen op hol geslagen statistieken voet aan de grond. Een statistiek die een paar jaar geleden op grote schaal werd gepubliceerd was deze:

•••

In de VS sterven elk jaar 150 000 meisjes en jonge vrouwen aan anorexia. [3]

•••

Laten we de aannemelijkheid hiervan testen. Daarvoor moeten we wat graafwerk doen. Volgens de Amerikaanse Centers for Disease Control is het totale aantal doden onder meisjes en vrouwen in de leeftijd van vijftien tot vierentwintig jaar ongeveer 8500. Als je daar de vrouwen van vijfentwintig tot vierenveertig jaar bij optelt, krijg je nog altijd niet meer dan 55 000 doden. [4] Het aantal anorexiadoden in één jaar kan niet hoger liggen dan het totaal aantal doden. [5]

In een artikel in Science rapporteerden Louis Pollack en Hans Weiss dat sinds de oprichting van de Communication Satellite Corp:

•••

de prijs van een telefoontje met 12 000 procent is gedaald. [6]

•••

Als een prijs met 100 procent daalt, kom je uit op nul, hoe hoog de oorspronkelijke prijs ook was. Als een prijs met 200 procent daalt, betaalt iemand je het bedrag dat je eerder aan hem of haar betaalde om het product af te nemen. Een daling van 100 procent is zeer zeldzaam; een daling van 12 000 procent is volslagen onwaarschijnlijk. [7] In een artikel in het intercollegiaal getoetste Journal of Management Development wordt een afname van 200 procent in het aantal klachten gemeld als gevolg van een nieuwe strategie op het gebied van klantenservice. [8] Auteur Dan Keppel heeft zijn boek zelfs de titel Get What You Pay For: Save 200% on Stocks, Mutual Funds, Every Financial Need gegeven. Hij zou beter moeten weten; hij heeft een MBA-diploma.

Natuurlijk moet je percentages afleiden van dezelfde uitgangswaarde, anders zijn ze geen equivalenten van elkaar. Een salarisverlaging van 50 procent kan niet worden hersteld door je nieuwe, lagere salaris met 50 procent te verhogen, omdat de uitgangswaarden zijn veranderd. [9] Als je 1000 dollar per week verdiende en een verlaging van 50 procent hebt gekregen, kom je uit op 500 dollar; met een verhoging van 50 procent op dat bedrag kom je niet verder dan 750 dollar.

•••

Percentages lijken zo simpel en rechttoe rechtaan, maar ze zijn vaak verwarrend. Als rentetarieven stijgen van 3 naar 4 procent, is dat een toename van 1 procentpunt, of 33 procent (omdat de 1 procent stijging wordt toegepast op een uitgangswaarde van 3, dus 1/3 = 0,33). Als de rentetarieven dalen van 4 procent naar 3 procent, is dat een afname van 1 procentpunt, maar geen afname van 33 procent – het is een afname van 25 procent (omdat de krimp van 1 procent nu wordt toegepast op een uitgangswaarde van 4). Onderzoekers en journalisten nemen niet altijd de moeite om dit onderscheid tussen procentpunt en percentage duidelijk te maken, daarom moet je dat zelf doen. [10]

The New York Times deed verslag van de sluiting en verhuizing van een textielfabriek uit Connecticut naar Virginia vanwege de lagere arbeidskosten. [11] De Times meldde dat ‘arbeidskosten – salarissen en werknemersverzekeringen – in Connecticut twintig keer hoger liggen dan in Virginia’. Is dit aannemelijk? Als het waar was, zou je verwachten dat bedrijven massaal van Connecticut naar Virginia zouden vertrekken – niet alleen die ene fabriek – en dat je er al eerder over gehoord zou hebben. Maar het klopte niet en de Times moest het bericht corrigeren. Hoe kon dit gebeuren? De verslaggever heeft simpelweg een bedrijfsrapport verkeerd gelezen. Een van de kostenposten, de werkloosheidsverzekering, was inderdaad twintig keer hoger in Connecticut dan in Virginia, maar als je rekening hield met andere kosten, waren de arbeidskosten in Connecticut in feite slechts 1,3 keer hoger en niet 20 keer. De verslaggever had geen bedrijfskundige achtergrond, en dat is ook logisch. Om dit soort fouten te ontdekken moeten we even een stap terug doen en voor onszelf denken – en dat kan iedereen (de journalist en haar eindredacteur hadden dat ook moeten doen).

New Jersey heeft wetgeving aangenomen die verbiedt de bijstandsuitkering van vrouwen die een kind krijgen te verhogen. [12] Er waren wetgevers die dachten dat vrouwen in New Jersey baby’s kregen om een hogere uitkering te krijgen. Binnen twee maanden verklaarden wetgevers dat de wet op het ‘gezinsplafond’ een groot succes was omdat het geboortecijfer met 16 procent gedaald was. Volgens The New York Times:

•••

Na slechts twee maanden publiceerde de overheid cijfers die erop duidden dat het geboortecijfer onder vrouwen in de bijstand met 16 procent was gedaald; regeringsfunctionarissen waren erg ingenomen met dit snelle succes. [13]

•••

Ze telden dus niet het aantal zwangerschappen maar het aantal geboorten. Wat klopt hier niet? Omdat het negen maanden duurt om een zwangerschap te voldragen, kan enig effect in de eerste twee maanden niet worden toegeschreven aan de wet, maar is dat waarschijnlijk het gevolg van normale fluctuaties in het geboortecijfer (het is bekend dat geboortecijfers seizoensgebonden zijn).

Daarnaast waren er nog andere problemen met dit bericht, die niet kunnen worden ondervangen door middel van een aannemelijkheidstest:

•••

[…] in de loop der tijd werd die daling van 16 procent bijgesteld tot ongeveer 10 procent, aangezien de overheid pas later informatie kreeg over geboorten die niet waren doorgegeven. Veel moeders zagen geen reden de geboorte van hun kind te melden, omdat dit geen gevolgen had voor de hoogte van hun uitkering. [14]

•••

Dit is een voorbeeld van de manier waarop statistieken worden verkregen – we bevragen niet daadwerkelijk alle mensen die we denken te bevragen. Sommige redeneringsfouten zie je minder goed aankomen dan andere, maar door oefening worden we er beter in. Laten we om te beginnen eens kijken naar een vaak verkeerd gebruikt basishulpmiddel.

Het cirkeldiagram is een gemakkelijke manier om percentages te visualiseren – hoe de verschillende delen van een geheel zich tot elkaar verhouden. Misschien wil je weten welk percentage van de begroting van een school wordt besteed aan zaken als salarissen, lesmateriaal en onderhoud. Of misschien wil je weten welk percentage van het geld dat wordt besteed aan lesmateriaal naar wiskunde, natuurkunde, taal, sport, muziek enzovoort gaat. De kardinale regel van een cirkeldiagram is dat het totaal van de percentages honderd moet zijn. Denk maar aan een taart – als er negen mensen zijn die ieder een even groot stuk willen, kun je hem niet in acht stukken snijden. Als je de hele taart gehad hebt, is er niets meer over. Toch weerhield dat Fox News er niet van het volgende cirkeldiagram te publiceren.

•••

Je kunt je wel voorstellen hoe zoiets kan gebeuren. Kiezers krijgen de mogelijkheid om meer dan één kandidaat te steunen. Maar dan zouden de resultaten niet moeten worden weergegeven in een cirkeldiagram.

•••

•••

[1.] Dit is een bijna letterlijk citaat uit J. Best (2005). ‘Lies, calculations and constructions: Beyond How to Lie with Statistics’, Statistical Science, 20(3), pp. 210-214.

[2.] Y. Wang (25 maart 2013). ‘More people have cell phones than toilets, U.N. study shows’, http://newsfeed.time.com/2013/03/25/more-peoplehave-cell-phones-than-toilets-u-n-study-shows/.

[3.] G. Steinem (1992). Revolution from Within. New York: Little, Brown and Company. N. Wolf (1991). The Beauty Myth. New York: William Morrow.

[4.] Dit voorbeeld is afkomstig uit J. Best (2005). Lies, calculations and constructions: Beyond How to Lie with Statistics. Statistical Science, 20(3), pp.210-214. De cijfers zijn te vinden op www.cdc.gov.

[5.] Misschien werk je op de crediteurenafdeling van een grote onderneming. Een werknemer heeft een reiskostendeclaratie van 5000 dollar ingeleverd voor de maand april. Je begint met wat kennis van de wereld: de meeste auto’s presteren tegenwoordig beter dan 1 op 8 (sommige meerdere malen beter). Je weet ook dat mensen bij verantwoordelijk rijgedrag niet harder rijden dan honderd kilometer per uur, en dat als je tien uur per dag zou rijden, uitsluitend op de snelweg, dat duizend kilometer per dag zou betekenen. Als je dat toepast op een standaardmaand van 21,5 werkdag, kom je uit op 21 500 kilometer. Deel dat door een brandstofverbruik van 1 op 8 en volgens een ruwe schatting zou de werknemer 25 200 liter benzine hebben verbruikt. Dan zoek je de gemiddelde benzineprijs in april op en dat blijkt 0,76 dollar per liter te zijn. 0,76 maal 2800 liter = 1915 dollar; nog geen 2000 dollar dus. De 5000 dollar op het declaratieformulier lijkt bij lange na niet aannemelijk. Zelfs als de werknemer twintig uur per werkdag had gereden, waren de kosten niet zo hoog geweest. www.fueleconomy.gov/feg/best/bestworstNF.shtml, geraadpleegd op 1 augustus 2015; bijvoorbeeld www.fuelgaugereport.com/.

[6.] L. Pollack & H. Weiss (1984). ‘Communication satellites: countdown for Intelsat VI’, Science, 223(4636), p. 553.

[7.] Je zou het misschien zo kunnen inkleden dat dit waar was. Misschien kostte een widget voorheen 1 dollar, en is een bedrijf vanwege een grote promotieactie niet alleen bereid het je gratis te geven, maar wil het je maar liefst 11 999 dollar betalen als je het wilt hebben (dat is een korting van 12 000 procent). Dit gebeurt in onroerend goed en in het bedrijfsleven. Het kan zijn dat een oud, vervallen huis moet worden gesloopt voordat een nieuw huis kan worden gebouwd; misschien betaalt de eigenaar veel onroerendgoedbelasting en zijn de sloopkosten hoog, dus is de eigenaar bereid iemand te betalen om hem ervan af te helpen. Eind jaren negentig van de vorige eeuw stonden verschillende grote platenmaatschappijen die dik in de schulden zaten ‘te koop’ voor $ 0, op voorwaarde dat de nieuwe eigenaar de schulden overnam.

[8.] C. Bailey & M. Clarke (2008). ‘Aligning business leadership development with business needs: the value of discrimination’, Journal of Management Development, 27(9), pp. 912-934. Andere voorbeelden van een korting van 200 procent: B.S. Rajashekar, & V.P. Kalappa, (2006). ‘Effects of planting seasons on seed yield & quality of tomato varieties resistant to leaf curl virus’. Seed Research, 34(2), pp. 223-225. www.bostoncio.com/AboutRichardCohen.asp.

[9.] Illustratie © 2016 Dan Piraro, op basis van een voorbeeld uit Huff, ibid.

[10.] Met dank aan James P. Scanlan, advocaat, Washington, D.C., die mijn vraag aan de leden van de American Statistical Association heeft beantwoord en me dit voorbeeld van misbruik heeft gegeven.

[11.] Dit voorbeeld komt uit H. Spirer, L. Spirer & A.J. Jaffe (1987). Misused Statistics, p. 194. New York: Marcel Dekker. J. Miller (29 december 1996). ‘High costs are blamed for the loss of a mill’, The New York Times, Connecticut Section. En (12 januari 1997) ‘Correction’, The New York Times, Connecticut Section.

[12.] K.J. McLaren (1993). ‘New Jersey Welfare’s Give and Take; Mothers Get College Aid, but No Extra Cash for Newborns’, The New York Times, 5 december 1993, p. 1. Zie ook: M. Henneberger (1995). ‘Rethinking Welfare: Deterring New Births – A special report; State Aid Is Capped, but to What Effect?’, The New York Times, 11 april 1995.

[13.] M. Henninberger (1995). ‘Rethinking Welfare: Deterring New Births – A special report; State Aid Is Capped, but to What Effect?’, The New York Times, 11 april 1995, p. A18.

[14.] Ibid.

•••

•••

Gemiddelden

•••

Een gemiddelde kan een handige beknopte statistiek zijn, die nog gemakkelijker te interpreteren is dan een cirkeldiagram, en waarmee je een grote hoeveelheid informatie kunt karakteriseren met één enkel getal. Misschien willen we weten hoe rijk de mensen in een kamer gemiddeld zijn om erachter te komen of het zin heeft een ontmoeting te regelen met onze fondsenwervers of salesmanagers. Of misschien willen we de gemiddelde benzineprijs weten om te kunnen inschatten wat het gaat kosten om van Vancouver naar Banff te rijden. Maar gemiddelden kunnen complexer zijn dan ze lijken.

Er zijn drie manieren om een gemiddelde te berekenen, en die leveren vaak verschillende getallen op. Dat zijn het gemiddelde, de mediaan en de modus. In sommige gevallen zijn deze identiek, maar vaak is dat niet het geval.

Het gemiddelde wordt van de drie het meest gebruikt en wordt berekend door alle waarnemingen of meldingen die je hebt bij elkaar op te tellen en het resultaat te delen door het aantal waarnemingen of meldingen. Het gemiddelde inkomen van de mensen in een kamer is simpelweg het totale inkomen gedeeld door het aantal mensen. Als er tien mensen in de kamer zijn die ieder goed zijn voor 100 000 dollar, is de totale netto waarde 1 000 000 dollar, en kun je het gemiddelde berekenen zonder een calculator te gebruiken: dat is 100 000 dollar. Als er in een andere kamer tien mensen zitten wier inkomen varieert van 50 000 tot 150 000 dollar, maar die samen 1 000 000 dollar waard zijn, is het gemiddelde nog altijd 100 000 dollar (omdat je simpelweg het totaalbedrag van 1 000 000 door tien mensen deelt, ongeacht wat deze mensen individueel verdienen).

De mediaan is het middelste getal in een reeks getallen (statistici noemen deze reeks de ‘distributie’): de helft van de waarnemingen zit erboven en de helft zit eronder. Vergeet niet dat het er bij een gemiddelde om gaat dat je een heleboel gegevens kunt weergeven in één enkel getal. De mediaan doet dit beter als sommige van je waarnemingen heel erg afwijken van de meerderheid, wat statistici uitschieters noemen.

Als we naar een kamer met negen bezoekers kijken en acht van hen hebben een netto-inkomen van bijna 100 000 dollar, en een van hen staat op het punt failliet te gaan en heeft een (negatief) inkomen van minus 500 000 dollar, dan ziet een overzicht van de aanwezigen in de kamer er als volgt uit:

•••

Persoon 1: -500 000

Persoon 2: 96 000

Persoon 3: 97 000

Persoon 4: 99 000

Persoon 5: 100 000

Persoon 6: 101 000

Persoon 7: 101 000

Persoon 8: 101 000

Persoon 9: 104 000

•••

Als je deze bedragen bij elkaar optelt, kom je uit op een totaal van 290 000 dollar. Gedeeld door het aantal waarnemingen, negen, is het gemiddelde 33 222 dollar per persoon. Maar het gemiddelde geeft geen erg goed beeld van het inkomen van de individuele aanwezigen. Het suggereert dat je fondsenwerver hier niet langs zou hoeven, terwijl het in feite slechts één persoon is – een uitschieter – die het gemiddelde naar beneden haalt. Dat is het probleem met het gemiddelde: het is gevoelig voor uitschieters.

De mediaan zou hier 100 000 dollar zijn: vier mensen verdienen minder dan dit bedrag, en vier mensen verdienen meer. De modus is 101 000 dollar, het getal dat meer voorkomt dan andere getallen. Zowel de mediaan als de modus is in dit specifieke voorbeeld bruikbaarder.

Er zijn allerlei manieren waarop gemiddelden kunnen worden gebruikt om te manipuleren wat je wilt dat anderen uit je data halen.

Stel bijvoorbeeld dat je samen met twee vrienden een kleine start-up hebt opgericht, die inmiddels vijf medewerkers heeft. Het is het eind van het jaar en je wilt verslag uitbrengen over je financiën aan je werknemers, zodat ze zich goed voelen over alle overuren die ze hebben gemaakt en de koude pizza’s die ze hebben gegeten, en waarmee je investeerders kunt aantrekken. Laten we zegen dat vier werknemers – programmeurs – ieder 70 000 dollar per jaar verdienen, en één werknemer – de receptioniste/officemanager – 50 000 dollar. Dat is een gemiddeld salaris van 66 000 dollar per jaar: (4 × 70 000) + (1 × 50 000), gedeeld door 5. Je twee vrienden en jij namen als salaris ieder 100 000 dollar per jaar op. Je salariskosten bedroegen dus (4 × 70 000) + (1 × 50 000) + (3 × 100 000) = 630 000 dollar. En laten we er ten slotte van uitgaan dat je bedrijf 210 000 dollar winst heeft gemaakt en dat jullie dat als bonus gelijkelijk onder jezelf en je medeoprichters hebben verdeeld, waardoor jullie ieder 100 000 + 70 000 kregen. Hoe ga je dit dan naar buiten brengen?

Je zou kunnen zeggen:

•••

Gemiddeld werknemerssalaris: 66 000 dollar

Gemiddeld salaris + bonus eigenaren: 170 000 dollar

•••

Dit is wel waar, maar het wekt, behalve bij je moeder, waarschijnlijk geen goede indruk. Als je werknemers hier lucht van krijgen, zullen ze zich mogelijk onderbetaald voelen. Potentiële investeerders kunnen het idee krijgen dat de oprichters te veel verdienen. Je zou de situatie ook als volgt kunnen weergeven:

•••

Gemiddeld werknemerssalaris: 66 000 dollar

Gemiddeld salaris eigenaren: 100 000 dollar

Winst: 210 000 dollar

•••

Dat maakt een betere indruk op potentiële investeerders. En je kunt het feit dat je de winst hebt verdeeld onder de eigenaren buiten beschouwing laten. Bij je presentatie voor je werknemers kun je die laatste regel achterwege laten – die regel over de gemaakte winst. De vier programmeurs zullen allemaal denken dat ze hogelijk gewaardeerd worden omdat ze meer verdienen dan het gemiddelde. Je arme receptioniste zal minder blij zijn, maar ze wist ongetwijfeld al dat de programmeurs meer verdienen dan zij.

Stel nu dat je je overwerkt voelt en dat je je beide partners, die niet al te veel weten van kritisch denken, ervan wilt overtuigen dat je meer mensen moet aannemen. Je zou kunnen doen wat veel bedrijven doen en de ‘winst per werknemer’ opnemen in je verslag door de 210 000 dollar winst te verdelen over de vijf werknemers:

•••

Gemiddeld werknemerssalaris: 66 000 dollar

Gemiddeld salaris eigenaren: 100 000 dollar

Winst per jaar per werknemer: 42 000 dollar

•••

Nu kun je claimen dat 64 procent van het salaris dat je je werknemers betaalt, terugkomt in de vorm van winst, wat betekent dat je als al die winst is binnengerold slechts 36 procent van hun salaris hoeft te betalen. Natuurlijk zit er in deze cijfers niets wat erop duidt dat de winst zal stijgen door extra mensen aan te nemen – je winst heeft misschien wel niets te maken met het aantal werknemers dat je hebt – maar voor iemand die niet kritisch denkt, kan dit een goede reden lijken om meer mensen aan te nemen.

Als je ten slotte wilt laten zien hoe uitzonderlijk rechtvaardig je als werkgever bent en dat het verschil tussen wat je als winst opneemt en wat je werknemers verdienen in feite heel redelijk is, neem je de 210 000 dollar winst en verdeel je 150 000 dollar daarvan als bonus onder jezelf en je partners, en houd je 60 000 dollar apart als ‘winst’. Deze keer kun je het gemiddelde salaris berekenen maar met inbegrip van jezelf en je partners met de bonussen.

•••

Gemiddeld salaris: 97 500 dollar

Gemiddelde winst eigenaren: 20 000 dollar

•••

Als je het echt leuk wilt maken, hanteer je de volgende verdeling:

•••

Totale salariskosten plus bonussen: 840 000 dollar

Salarissen: 780 000 dollar

Winst: 60 000 dollar

•••

Dat ziet er toch heel redelijk uit? Van de beschikbare 840 000 dollar voor salarissen en winst is slechts 60 000 dollar, of 7 procent, naar winst voor de eigenaren gegaan. Je werknemers zullen denken dat jou niets te verwijten valt – wie zou de eigenaar van een bedrijf 7 procent winst misgunnen? En zoveel is het nog niet eens – die 7 procent wordt verdeeld over de drie eigenaren, wat neerkomt op 2,3 procent per persoon. Niets om je voor te schamen.

Maar je kunt het nog beter doen. Stel dat je in je eerste operationele jaar alleen parttimewerknemers had die 40 000 dollar per jaar verdienden en in het tweede jaar alleen nog fulltimewerknemers die de eerder genoemde 66 000 dollar per jaar verdienden. Dan kun je oprecht beweren dat het gemiddelde werknemersinkomen met 65 procent is gestegen. Wat een geweldige werkgever! Maar je gaat dan wel voorbij aan het feit dat je parttimers vergelijkt met fulltimers. Je zou niet de eerste zijn: U.S. Steel deed dat al in de jaren veertig van de vorige eeuw.

•••

In strafrechtzaken is de manier waarop de feiten worden voorgesteld – de framing – van grote invloed op de conclusies die juryleden trekken over de schuld van de verdachte. Hoewel ze wiskundig gelijk zijn, klinkt de bewering dat ‘de kans dat het bloed van de verdachte overeenkomt met het bloed dat is gevonden op de plaats delict als hij niet de dader is slechts 0,1 procent (één op duizend) is’ veel overtuigender dan wanneer je zegt ‘het bloed van één op de duizend mensen in Houston zou eveneens overeenkomen met het bloed dat is gevonden op de plaats delict’. [1]

Gemiddelden worden vaak gebruikt in uitspraken als ‘één op de x huwelijken eindigt in een echtscheiding’. Maar dat betekent niet dat die statistiek ook geldt in jouw straat, in jouw bridgeclub of voor de mensen die jij kent. Het zou kunnen, of niet – het is een landelijk gemiddelde en er kan sprake zijn van bepaalde risicofactoren die helpen voorspellen wie er wel en niet zullen gaan scheiden.

Zo zou je ook kunnen lezen dat één op de vijf kinderen die worden geboren Chinees is. Stel nu dat een Zweeds gezin bij jou in de straat al vier kinderen heeft en dat de moeder in verwachting is. Dit betekent niet dat ze op het punt staat om te bevallen van een Chinese baby – één op de vijf kinderen is een gemiddelde van alle geboorten ter wereld, niet van de geboorten in een bepaald gezin of een bepaalde buurt, zelfs niet in een bepaald land.

Wees voorzichtig met gemiddelden en de manier waarop je die toepast. Het kan bijvoorbeeld misleidend zijn als je een gemiddelde toepast op leden van verschillende populaties, zoals in:

•••

Mensen hebben gemiddeld één testikel. [2]

•••

Dit voorbeeld illustreert het verschil tussen gemiddelde, mediaan en modus. Omdat er iets meer vrouwen dan mannen op aarde zijn, zijn de mediaan en de modus beide nul, terwijl het gemiddelde dichter bij één ligt (rond 0,98).

Let er ook op dat het gemiddelde niets zegt over de range (het bereik of het verschil tussen de laagste en de hoogste waarde). De gemiddelde temperatuur per jaar in Death Valley in Californië is een comfortabele 25 ⁰C. Maar de range kan dodelijk zijn, met geregistreerde temperaturen variërend van -9 ⁰C tot 57 ⁰C. [3]

Of… ik zou kunnen zeggen dat het gemiddelde vermogen van honderd mensen in een kamer 350 miljoen dollar is. En jij zou kunnen denken dat dit de groep is om je beste salesmensen op los te laten. Maar het kan ook zijn dat Mark Zuckerberg in de kamer is (goed voor 35 miljard dollar) samen met negenennegentig mensen die geen rode cent bezitten. Het gemiddelde kan belangrijke verschillen wegvagen.

Iets anders om alert op te zijn als het om gemiddelden gaat, is de bimodale distributie. Weet je nog: de modus is de waarde die het vaakst voorkomt. In veel biologische, fysieke en sociale datareeksen heeft de distributie één of twee pieken, dat wil zegen één of twee waarden die meer voorkomen dan de andere.

•••

•••

Een grafiek als deze kan bijvoorbeeld een beeld geven van het bedrag dat per week aan lunches wordt besteed (x-as) en hoeveel mensen dat bedrag uitgeven (y-as). Stel je nu voor dat je twee verschillende groepen hebt binnen je enquête: kinderen (links) – zij kopen hun lunches op school – en executives in het bedrijfsleven (rechts) – zij gaan naar chique restaurants. Het gemiddelde en de mediaan zouden in dit geval een bedrag ergens tussen die twee in kunnen zijn, en zou ons niet veel vertellen over wat er daadwerkelijk gebeurt – het gemiddelde en de mediaan zijn in veel gevallen bedragen die niemand uitgeeft. [4] Een grafiek als deze is vaak een aanwijzing dat je steekproef heterogeen is, of dat je appels met peren vergelijkt. Wat je beter kunt doen, is aangeven dat het hier om een bimodale distributie gaat en de twee modi noemen. Of wat nog beter is: je kunt de twee groepen uit elkaar halen en voor elk aparte cijfers geven.

Maar wees voorzichtig met het trekken van conclusies over individuen en groepen op basis van gemiddelden. Valkuilen hierbij komen zoveel voor dat ze namen hebben gekregen: de ecologische fout en de overgeneralisatie. De ecologische fout doet zich voor als we conclusies trekken over een individu op basis van verzamelde data (zoals een groepsgemiddelde), en overgeneralisatie doet zich voor als we conclusies trekken over een groep op basis van kennis over een paar uitzonderlijke individuen.

Stel je bijvoorbeeld twee dorpjes voor met ieder honderd inwoners. Dorp A heeft negenennegentig inwoners die ieder 80 000 dollar per jaar verdienen, en één schatrijke inwoner, die olie op haar land heeft gevonden en 5 000 000 dollar per jaar verdient. Dorp B heeft vijftig inwoners die 100 000 dollar per jaar verdienen en vijftig mensen die 140 000 dollar per jaar verdienen. Het gemiddelde inkomen van dorp A is 129 200 dollar en het gemiddelde inkomen van dorp B is 120 000 dollar. Hoewel dorp A een hoger gemiddeld inkomen heeft, heeft in negenennegentig van de honderd gevallen een willekeurig gekozen individu dat je selecteert uit dorp B een hoger inkomen dan een willekeurig gekozen individu uit dorp A. De ecologische fout is de gedachte dat als je een willekeurige persoon uit de groep met het hogere gemiddelde kiest, die persoon waarschijnlijk een hoger inkomen zal hebben. Het mooie is dat in dit voorbeeld niet alleen het gemiddelde hoger is in dorp B, maar ook de mediaan en de modus, en dat is niet altijd het geval.

Nog een voorbeeld: er is wel gesuggereerd dat rijke mensen in de VS vaker op een Republikein stemmen, maar gebleken is dat de rijkere staten overwegend op de Democraten stemmen. De rijkdom van die rijkere staten kan als gevolg van een klein percentage superrijken een vertekend beeld geven. Tijdens de presidentsverkiezingen van 2004 won de Republikeinse kandidaat, George W. Bush, in de vijftien armste staten, en de Democratische kandidaat, John Kerry, in negen van de rijkste staten. [5] Toch stemde 62 procent van de mensen met een jaarinkomen van meer dan 200 000 dollar op Bush, en slechts 36 procent van de mensen met een jaarinkomen van 15 000 dollar of minder.

Als voorbeeld van overgeneralisatie heb je vast wel gehoord dat Volvo’s tot de meest betrouwbare auto’s behoren en heb je daarom misschien wel besloten er een te kopen. Op weg naar de Volvodealer kom je langs een Volvogarage, waar de parkeerplaats vol staat met Volvo’s die gerepareerd moeten worden. Als je op basis hiervan van gedachten verandert, gebruik je een klein aantal uitzonderlijke gevallen om conclusies te trekken over de hele groep. Niemand heeft beweerd dat Volvo’s nooit gerepareerd hoeven te worden, alleen dat de kans daarop in de groep als geheel kleiner is. Vandaar ook de opmerking in advertenties dat ‘individuele prestaties kunnen variëren’. Er is nog een andere manier waarop je hier bovenmatig door wordt beïnvloed: de enige plek waar je Volvo’s tegenkomt die gerepareerd moeten worden, is bij een Volvogarage. Je ‘base-rate’ is veranderd en je kunt dit niet langer als een willekeurige steekproef beschouwen.

Gewapend met deze kennis over gemiddelden moet je oppassen dat je niet meegaat in het befaamde misverstand dat mensen honderd jaar geleden anders leefden dan nu. Je hebt waarschijnlijk wel gehoord of gelezen dat de levensverwachting in de moderne tijd gestaag is toegenomen. De mannen en vrouwen die in 1850 werden geboren, hadden een levensverwachting van respectievelijk achtendertig en veertig jaar; voor mannen en vrouwen die in 1990 zijn geboren is dat respectievelijk tweeënzeventig en negenenzeventig jaar. [6] Mensen zijn daarom geneigd te denken dat er in de negentiende eeuw niet veel vijftigers en zestigers rondliepen, omdat mensen niet zo lang leefden. Maar mensen leefden wel zo lang, alleen was de baby- en kindersterfte zo hoog dat dit het gemiddelde vertekende. Als je in die tijd de twintig haalde, kon je een lang leven leiden. In 1850 kon een vijftigjarige blanke vrouw erop rekenen dat ze drieënzeventig en een half zou worden en een vrouw van zestig dat ze de zevenenzeventig zou halen. De levensverwachting voor vijftig- en zestigjaren is inderdaad toegenomen, met ongeveer tien jaar sinds 1850, en dat is grotendeels te danken aan betere gezondheidszorg. Maar net als bij het eerdere voorbeeld van een kamer vol mensen met uiteenlopende inkomens weerspiegelen de veranderende gemiddelden in levensverwachting bij de geboorte over de afgelopen 175 jaar significante verschillen tussen de twee groepen: er was in die tijd veel meer baby- en kindersterfte, waardoor het gemiddelde veel lager lag.

Dan nu een hersenkraker. Het gemiddelde kind komt meestal niet uit het gemiddelde gezin. [7] Dit komt door veranderende uitgangswaarden.

Stel nu dat je leest dat het gemiddelde aantal kinderen in een bepaalde buitenwijk drie is. Daaruit zou je kunnen afleiden dat het gemiddelde kind twee broers of zussen heeft. Maar dat klopt niet. Ditzelfde probleem met logica is van toepassing als je vraagt of de gemiddelde student naar een universiteit van gemiddelde grootte gaat, of de gemiddelde werknemer het gemiddelde salaris krijgt, en of de gemiddelde boom uit het gemiddelde bos komt.

Bij al deze voorbeelden is er sprake van een verandering van de uitgangswaarde of steekproef. Als we het gemiddelde aantal kinderen per gezin berekenen, doen we een steekproef met gezinnen. Een heel groot gezin en een klein gezin tellen uiteraard beide als gezin. Als we het gemiddelde aantal broers of zussen berekenen, doen we een steekproef met kinderen. Ieder kind in het grote gezin wordt één keer geteld, zodat het aantal broers en/of zussen dat een van hen heeft zwaar op het totale aantal broers en zussen drukt. Met andere woorden, een gezin met tien kinderen telt maar één keer mee in de gezinsstatistiek, maar telt tien keer mee in de statistiek van het aantal broers of zussen per kind.

Stel nu dat er in één buurt van deze hypothetische buitenwijk dertig gezinnen wonen. Vier gezinnen hebben geen kinderen, zes gezinnen hebben één kind en elf gezinnen hebben zes kinderen. Het gemiddelde aantal kinderen per gezin is drie, omdat negentig (het totale aantal kinderen) wordt gedeeld door dertig (het totale aantal gezinnen).

Maar laten we nu eens kijken naar het gemiddelde aantal broers en/of zussen. De fout die mensen maken is dat als het gemiddelde gezin drie kinderen heeft, ieder kind gemiddeld twee broers en/of zussen moet hebben. Maar in de gezinnen met één kind heeft ieder van de zes kinderen nul broers en/of zussen. In de gezinnen met twee kinderen heeft ieder van de achttien kinderen één broer of zus. In de gezinnen met zes kinderen heeft ieder van de zesenzestig kinderen vijf broers en/of zussen. Op de negentig kinderen zijn er 348 broers en/of zussen. Dus hoewel het gemiddelde kind uit een gezin met drie kinderen komt, zijn er 348 broers en zussen verdeeld over 90 kinderen, of een gemiddelde van bijna vier broers en/of zussen per kind. [8]

•••

•••

•••

•••

Kijk nu eens naar de grootte van universiteiten. Er zijn in de Verenigde Staten veel grote universiteiten, zoals Ohio State en Arizona State University, met meer dan 50 000 ingeschreven studenten. Er zijn ook veel kleine universiteiten, met minder dan 3000 ingeschreven studenten, zoals Kenyon College en Williams College. Als we de universiteiten bij elkaar optellen, komen we misschien tot de conclusie dat de gemiddelde universiteit 10 000 studenten heeft. Maar als we de studenten bij elkaar optellen, komen we tot de conclusie dat de gemiddelde student naar een universiteit gaat met meer dan 30 000 studenten. Dit komt doordat we, als we studenten tellen, veel meer datapunten krijgen van de grote universiteiten. Zo woont ook de gemiddelde persoon niet in de gemiddelde stad, en slaat de gemiddelde golfer niet de gemiddelde ronde (het totale aantal slagen over achttien holes).

Deze voorbeelden brengen een verandering van de baseline of noemer met zich mee. Kijk maar naar een ander voorbeeld met het soort scheve verdeling waar we eerder al naar keken in verband met kindersterfte: de gemiddelde investeerder verdient niet het gemiddelde rendement. [9] Volgens een onderzoek bedroeg het gemiddelde rendement op een investering van 100 dollar na dertig jaar 760 dollar, of 7 procent per jaar. Maar 9 procent van de investeerders maakte verlies, en maar liefst 69 procent haalde het gemiddelde rendement niet. Dit komt doordat het gemiddelde werd vertekend door een paar mensen die veel meer dan het gemiddelde rendement behaalden. In de volgende illustratie zie je hoe het gemiddelde naar rechts wordt getrokken door de gelukkige investeerders die een fortuin hebben verdiend.

•••

•••

•••

[1.] J.J. Koehler (2001). ‘The psychology of numbers in the courtroom: How to make DNA match statistics seem impressive or insufficient’, South California Law Review, 74, p. 1275. J.J. Koehler (2001). ‘When are people persuaded by DNA match statistics?’, Law and Human Behavior, 25(5), p. 493.

[2.] Toegeschreven aan wiskundedocent Desmond MacHale van University College, Cork, Ierland.

[3.] http://en.wikipedia.org/wiki/Death_Valley.