Ingenieuze en verbijsterende
breinbrekers

Alex Bellos

AUP

Oorspronkelijke uitgave: Alex Bellos, Can You Solve my Problems? A casebook of ingenious, perplexing and totally satisfying puzzles, Guardian Books en Faber and Faber Ltd, 2016 [isbn 978-1-78335-114-5]

Copyright © 2016 by Alex Bellos

All rights reserved including the rights of reproduction in whole or in part in any form

Vertaling: Sarah de Waard

Voor deze vertaling heeft de uitgever ervoor gekozen om daar waar mogelijk de inhoud aan te passen naar de Nederlandse situatie. Daar waar de raadsels nog verwijzen naar Engelse voorbeelden zijn deze gehandhaafd omwille van de aard van de puzzels.

Ontwerp omslag: Klaas Wijnberg

Ontwerp binnenwerk: Crius Group, Hulshout

ISBN

978 94 6298 571 1

e-ISBN

978 90 4853 685 6 (pdf)

e-ISBN

978 90 4853 686 3 (ePub)

NUR

480 / 910

Uitgeverij AUP is een imprint van Amsterdam University Press.

© A. Bellos / Amsterdam University Press B.V., Amsterdam 2017

Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen of enige andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever.

Voor zover het maken van kopieën uit deze uitgave is toegestaan op grond van artikel 16B Auteurswet 1912 jº het Besluit van 20 juni 1974, Stb. 351, zoals gewijzigd bij het Besluit van 23 augustus 1985, Stb. 471 en artikel 17 Auteurswet 1912, dient men de daarvoor wettelijk verschuldigde vergoedingen te voldoen aan de Stichting Reprorecht (Postbus 3051, 2130 KB Hoofddorp). Voor het overnemen van gedeelte(n) uit deze uitgave in bloemlezingen, readers en andere compilatiewerken (artikel 16 Auteurswet 1912) dient men zich tot de uitgever te wenden.

De uitgeverij heeft ernaar gestreefd alle copyrights van in deze uitgave opgenomen illustraties te achterhalen. Aan hen die desondanks menen alsnog rechten te kunnen doen gelden, wordt verzocht contact op te nemen met Amsterdam University Press.

Voor Zak

INHOUD

INLEIDING

Tien lekkere lokkertjes:
Ben je slimmer dan een elfjarige?

Sluitkool, schuinsmarcheerders en een zebra

LOGISCHE RAADSELS

Tien lekkere lokkertjes:
Ben je een tovenaar met taal?

Een man loopt om een atoom heen …

MEETKUNDIGE RAADSELS

Tien lekkere lokkertjes:
Ben je slimmer dan een twaalfjarige?

Kippige wiskunde

PRAKTISCHE RAADSELS

Tien lekkere lokkertjes:
Blink jij uit in aardrijkskunde?

‘Your aid I want, nine trees to plant’

RAADSELS MET REKWISIETEN

Tien lekkere lokkertjes:
Ben je slimmer dan een dertienjarige?

De cijferspelletjes

PROBLEMEN VOOR PURISTEN

ANTWOORDEN

EEN LIJST VAN DE RAADSELS EN EEN
OPMERKING OVER HUN OORSPRONG

DANKWOORD

INLEIDING

Cheryl was het begin van al mijn problemen.

Ze was een complex meisje. Een echte plaaggeest.

Maar ik kon haar niet uit mijn hoofd zetten. En in veel opzichten heeft ze mijn leven veranderd.

Voor alle duidelijkheid, Cheryl bestaat niet. Ze speelde de hoofdrol in een opgave uit een Singaporees wiskunde-examen; ze zwengelde mijn fantasie aan en lokte me een wereld vol raadsels binnen, wat tot dit boek heeft geleid.

Cheryls verjaardagsraadsel – en de hele geschiedenis van onze relatie – kun je verderop in dit boek vinden. (Het is raadsel 21, op pagina 48.) Maar voor we beginnen aan onze ontdekkingsreis langs mijn favoriete wiskundige hersenbrekers, volgen hier alvast twee voorproefjes.

Het eerste. Kijk naar de afbeelding hieronder. De getallen zijn volgens een bepaalde regel gerangschikt. Achterhaal deze regel en vul het ontbrekende getal in. De zeven in de onderste cirkel is geen zetfout.

Ik vind dit raadsel onweerstaanbaar. Het ziet er intrigerend uit. Je hebt er geen hogere wiskunde voor nodig. Het daagt je uit om de oplossing te vinden, en de voldoening die je voelt wanneer dat lukt (als het lukt) is zowel opwindend als verslavend. Nob Yoshigahara, een beroemde twintigste-eeuwse Japanse puzzelontwerper, zag het als zijn meesterwerk. Probeer het op te lossen voor ik aan het eind van dit hoofdstuk het antwoord geef.

Het tweede: de Marskanalen. Op een kaart van de rode planeet zijn pas ontdekte steden en waterwegen getekend. Begin bij stad T op de zuidpool. Reis de kanalen af, waarbij je iedere stad maar één keer bezoekt, en keer terug naar het beginpunt. Kun je een Engelstalige zin vinden? Probeer het eerst voor je verder leest.

Dit raadsel, van de productieve puzzelontwerper Sam Loyd, is meer dan honderd jaar oud. Hij schreef: ‘Toen het raadsel voor het eerst in een tijdschrift verscheen, meldden meer dan vijftigduizend lezers “There is no possible way.” En toch is het heel eenvoudig.’ Je zult het jezelf nooit vergeven als je het antwoord opzoekt voor je het raadsel zelf opgelost hebt.

***

Als je gestopt bent met lezen om een van deze twee raadsels op te lossen, hoef ik je niet uit te leggen wat er zo fijn is aan puzzels. Ze slokken je op. Terwijl je je concentreert op het vinden van de oplossing, vervaagt elke afleiding om je heen. Gedwongen worden om je hersens te gebruiken herinnert je eraan dat je leeft. En deductief redeneren in eenvoudige, logische stappen wekt een gevoel van veiligheid op, vooral aangezien het echte leven vaak zo onlogisch is. Goede raadsels bieden ook haalbare doelen, en het is buitengewoon bevredigend om die te bereiken.

Eén gevolg van mijn geflirt met Cheryl was dat ik een online raadselcolumn begon te schrijven voor The Guardian. Om de beste raadsels te vinden dook ik in boeken en correspondeerde ik met raadselschrijvers, zowel amateurs als professionals. Ik heb altijd van wiskundige raadsels gehouden, maar voor ik met deze research begon, besefte ik niet hoe groot de variatie was, hoe complex de ideeën erachter waren en hoe rijk hun geschiedenis was. Ik wist bijvoorbeeld niet dat wiskunde duizend jaar geleden – los van saaie commerciële zaken als optellen en meten – vooral diende als intellectueel tijdsverdrijf en vermaak. (Je zou kunnen zeggen dat dit nog steeds zo is, als je bedenkt dat er veel meer sudoku-liefhebbers zijn dan professionele wiskundigen.) De geschiedenis van raadsels loopt parallel aan de geschiedenis van de wiskunde; ze reflecteren belangrijke ontdekkingen en inspireren de scherpste geesten.

In dit boek zijn 125 hersenbrekers uit de laatste twee millennia opgenomen, samen met achtergrondinformatie over hun oorsprong en invloed. Ik heb de raadsels gekozen die ik het leukst, het boeiendst en het uitdagendst vond. Ze zijn wiskundig in de breedst mogelijke betekenis: je moet logisch denken om de oplossing te vinden, maar er is geen hogere wiskunde voor nodig. De raadsels komen uit het oude China, middeleeuws Europa, victoriaans Engeland en het huidige Japan. Sommige raadsels zijn overgeleverd, andere zijn ontwikkeld door de belangrijkste wiskundigen van hun tijd. Vaak is de oorsprong van een raadsel echter moeilijk te achterhalen. Net als grappen en volksverhalen veranderen ze voortdurend, omdat iedere generatie ze verfraait, aanpast, versimpelt, uitbreidt en herschrijft. De beste raadsels zijn kleine kunstwerkjes. Elegant en beknopt trekken ze onze aandacht, jagen ze onze competitiedrang aan, beproeven ze onze inventiviteit, en soms onthullen ze universele waarheden. Om een goed raadsel op te lossen is geen specialistische kennis nodig – alleen creativiteit, listigheid en het vermogen om helder te denken. Raadsels fascineren ons omdat ze een beroep doen op het menselijke instinct om de wereld te begrijpen; ze maken ons gelukkig omdat we iets doorgronden. Maar hoe frivool of gekunsteld een raadsel ook is, de strategieën die we inzetten om ze op te lossen, vergroten ons arsenaal om andere uitdagingen in het leven aan te pakken.

Maar het allerbelangrijkste is dat raadsels onze intellectuele speelsheid aanmoedigen. Ze zijn leuk. Ze vertegenwoordigen kinderlijke nieuwsgierigheid. Ik heb zoveel mogelijk verschillende typen raadsels gekozen, waarvoor op heel verschillende manieren gedacht moet worden. Voor sommige is een briljante inval nodig, bij andere moet je je neus achternalopen en weer andere … maar nu loop ik op de zaken vooruit.

Ieder hoofdstuk heeft een thema, en de raadsels erin staan in min of meer chronologische volgorde. De vragen lopen niet op van makkelijk naar moeilijk. Moeilijkheidsgraad is sowieso lastig te beoordelen. Wat een kwelling is voor de ene persoon, kan simpel zijn voor de andere, en omgekeerd. Bij een paar raadsels leg ik uit hoe ze opgelost moeten worden, en bij een paar andere geef ik aanwijzingen, maar verder mag je het zelf uitzoeken. (De antwoorden staan achterin het boek.) Een aantal van mijn raadsels is eenvoudig. Over andere zul je je dagenlang het hoofd breken. Deze hersenkrakers zijn gemarkeerd met het symbool . Als je ze niet op weet te lossen, hoop ik dat je de oplossingen even fascinerend zult vinden als de problemen zelf. Soms zit het plezier in het leren van een nieuwe techniek, het kennismaken met een nieuw idee, of het ervaren van de gevolgen daarvan.

Aan het begin van ieder hoofdstuk heb ik tien spervuurvragen opgenomen, zodat je in de stemming kunt komen. In de eerste, derde en vijfde van deze inleidingen staan vragen (in oplopende moeilijkheidsgraad) die door de United Kingdom Mathematics Trust gebruikt worden in hun jaarlijkse nationale wedstrijd voor elf- tot dertienjarigen. Jawel, tien vragen voor kinderen. Durf je het aan?

Laten we nu terugkeren naar de vragen die ik aan het begin stelde.

Als je naar de ‘getallenboom’ kijkt, dwaalt je blik naar de linkerbovenkant. Hoe kunnen 72 en 99 als uitkomst 27 hebben?

Hebbes! 99 – 72 = 27.

Met andere woorden, het getal in de cirkel is het verschil tussen de omcirkelde getallen die er met pijltjes naartoe wijzen.

En kijk, dit patroon wordt herhaald bij 18, het volgende getal:

45 – 27 = 18

En ook bij 21:

39 – 18 = 21

Wat betekent dat het ontbrekende getal het verschil moet zijn tussen 21 en 36, namelijk 15:

36 – 21 = 15

Omwille van de volledigheid volgen we de rest van de boom:

28 – 15 = 13

Mooi! Het werkt dus nog steeds. We zijn er bijna.

Maar dan – BAM!

Het laatste getal is 7, wat niet het verschil is tussen 13 en 21, de twee getallen die ernaar wijzen.

Verdomme! We zaten ernaast met onze oorspronkelijke aanname. De getallen in de cirkels zijn niet het verschil tussen de twee getallen die ernaar wijzen. Yoshigahara heeft ons listig om de tuin geleid, om ons op het laatste moment te laten struikelen.

We zijn weer terug bij af. Of liever gezegd, terug bij de eerste cirkel. Hoe kunnen 72 en 99 nog meer op 27 uitkomen?

Het antwoord is zo simpel dat je het misschien over het hoofd hebt gezien.

7 + 2 + 9 + 9 = 27

De cijfers worden allemaal bij elkaar opgeteld.

Het werkt ook bij de volgende regel:

2 + 7 + 4 + 5 = 18

En de volgende. Het ontbrekende getal is dus:

2 + 1 + 3 + 6 = 12

De laatste twee cirkels werken nu ook mee:

1 + 2 + 2 + 8 = 13

1 + 3 + 2 + 1 = 7

Het raadsel is waanzinnig ingenieus omdat Yoshigahara twee rekenregels heeft gevonden die beide voor vijf opeenvolgende stappen gelden, en waarvan er één pas bij de laatste stap niet meer werkt. En zelfs dan is het verschil in uitkomst slechts 1. Er is iets magisch aan de manier waarop het ons moeiteloos de verkeerde kant op stuurt. Een raadsel is vaak niet moeilijk omdat het een ‘moeilijk raadsel’ is, maar omdat we het op de verkeerde manier aanpakken. Hou dat in gedachten.

Heb je het Marskanalenraadsel opgelost? Je kunt de zin ‘There is no possible way’ vinden. De les die je hieruit kunt trekken is: lees de tekst zorgvuldig.

Laten we aan de slag gaan.

Tien lekkere lokkertjes

Ben je slimmer dan een elfjarige?

Klassenregel: rekenmachines zijn niet toegestaan.

1)In de drie onderstaande afbeeldingen zijn drie verschillende perspectieven op dezelfde kubus te zien. Welke letter staat op het vlak dat tegenover de U ligt?

A)I

B)P

C)K

D)M

E)O

2)Pinokkio’s neus is 5 centimeter lang. Iedere keer als hij een leugen vertelt, verdubbelt de lengte van zijn neus.
Als hij negen leugens heeft verteld, zal zijn neus ongeveer even lang zijn als een:

A)dominosteen

B)tennisracket

C)snookertafel

D)tennisbaan

E)voetbalveld

3)Het woord ‘thirty’ bestaat uit zes letters, en 30 = 6 × 5. En het woord ‘forty’ bestaat uit 5 letters, en 40 = 5 × 8. Welk van de onderstaande getallen is geen veelvoud van het aantal letters waaruit het bestaat?

A)six

B)twelve

C)eighteen

D)seventy

E)ninety

4)Amy, Ben en Chris staan in een rij.
Als Amy links van Ben staat en Chris rechts van Amy, welke van de volgende uitspraken moet(en) dan waar zijn?

A)Ben staat aan het linkeruiteinde

B)Chris staat aan het rechteruiteinde

C)Amy staat in het midden

D)Amy staat aan het linkeruiteinde

E)Geen van de uitspraken A, B, C en D is waar

5)Welke van de onderstaande afbeeldingen kun je tekenen zonder de pen van het papier te halen en zonder een tweede keer over een lijn te gaan?

6)Wat is het restgetal als je 354.972 door 7 deelt?

A)1

B)2

C)3

D)4

E)5

7)In een gezin heeft ieder kind minstens één broer en minstens één zus.
Hoeveel kinderen heeft dit gezin op zijn minst?

A)1

B)2

C)3

D)4

E)5

8)Het getal 987.654.321 wordt vermenigvuldigd met 9. Hoe vaak komt het cijfer 8 voor in de uitkomst?

A)1

B)2

C)3

D)4

E)9

9)In deze gedeeltelijk ingevulde piramide moet in iedere rechthoek de som komen te staan van de twee getallen die zich in de rechthoeken er direct onder bevinden. Welk getal moet op de plaats van x worden ingevuld?

A)3

B)4

C)5

D)7

E)12

10)Hoeveel verschillende cijfers krijg je als je 20/11 uitschrijft als een repeterende breuk?

A)2

B)3

C)4

D)5

E)6

Sluitkool, schuinsmarcheerders en een zebra

LOGISCHE RAADSELS

Logica. Het is een logische plaats om te beginnen: logische deductie is het grondbeginsel van alle wiskundige raadsels. Sterker nog, logica ligt aan de basis van alle wiskunde. In de terminologie van de puzzelaars zijn ‘logische raadsels’ echter hersenkrakers waarin uitsluitend gebruikgemaakt wordt van deductie. Rekenkundige berekeningen, algebraïsche manipulatie en op servetjes geschetste figuren worden bijvoorbeeld vermeden. Het logisch raadsel is de toegankelijkste vorm van een wiskundig vraagstuk, omdat er geen technische kennis voor nodig is, en de vragen eenvoudig en humoristisch geformuleerd kunnen worden. Maar we zullen zien dat deze raadsels niet altijd de makkelijkste zijn om op te lossen, omdat ze ons dwingen buiten onze normale denkpatronen te treden.

Dit doen ze al minstens sinds de tijd van Karel de Grote, koning (en later keizer) der Franken.

In 799 n.Chr. kreeg Karel de Grote, die over een groot deel van West-Europa regeerde, een brief van zijn oude onderwijzer, Alcuinus. Daarin stond: ‘Ik heb je ter vermaak wat rekenkundige curiosa gestuurd.’

Alcuinus was de grootste geleerde van zijn tijd. Hij groeide op in York, waar hij opgeleid werd aan de kathedraalschool van de stad, het beste opleidingscentrum van het land, waar hij later leiding aan zou geven. De reputatie van de Engelsman bereikte Karel de Grote. De koning haalde Alcuinus over om paleisschool in Aken te komen leiden, waar Alcuinus een grote bibliotheek stichtte en van waaruit hij het onderwijs in het hele Karolingische rijk hervormde. Uiteindelijk verliet Alcuinus het hof van Karel de Grote voor zijn benoeming tot abt in Tours, waar hij de hiervoor geciteerde brief aan zijn oude meester schreef.

Er wordt gezegd dat Alcuinus het schuinschrift heeft uitgevonden, waarmee hij en zijn vele kopiisten sneller konden schrijven. Sommigen geloven dat hij ook de eerste was die een leesteken – een diagonale krul – gebruikte om een vraag aan te geven. Het heeft iets passends dat de belangrijkste vroege speler in de puzzelgeschiedenis ook een stamvader van het vraagteken was.

Het document waar Alcuinus in zijn brief aan Karel de Grote naar verwijst, bestaat niet meer, maar historici vermoeden dat het een lijst was van zo’n vijftig raadsels die Propositiones ad Acuendos Juvenes heet, ofwel Vraagstukken om het verstand van de jeugd te scherpen. Het oudste bewaard gebleven manuscript ervan dateert van een eeuw later. Alleen Alcuinus, zo beargumenteren ze, de belangrijkste onderwijzer van zijn tijd, zou ze geschreven kunnen hebben.

De Propositiones is een opmerkelijk document. Het is de grootste verzameling van middeleeuwse raadsels die er bestaat, en de eerste Latijnse tekst met origineel wiskundig materiaal. (De Romeinen hebben wegen, aquaducten, badhuizen en rioleringsstelsels aangelegd, maar ze deden niet aan wiskunde.)

Het begint als een dijenkletser:

Een zwaluw vraagt een slak met hem te lunchen. Die moet daarvoor een Hollandse mijl (5,56 kilometer) reizen. Als de slak 2,54 centimeter (1 inch) per dag aflegt, hoe lang doet hij er dan over?

Het antwoord is: 246 jaar en 210 dagen. Hijzou meer dan twee eeuwen voor hij zijn bestemming bereikt had overleden zijn.

Een andere vraag is:

Een zekere man kwam een aantal leerlingen tegen en vroeg hun: ‘Hoeveel van jullie zitten er op jullie school?’ Een van de leerlingen antwoordde: ‘Ik wil het u niet direct vertellen, maar ik zal u vertellen hoe u erachter kunt komen. Verdubbel het aantal leerlingen, verdrievoudig dat aantal, en verdeel die uitkomst in vier delen. Als u mij optelt bij één van die delen, zijn het er 100.’ Hoeveel kinderen zitten er op de school?

Rotkinderen! Deze mogen jullie zelf oplossen.

Alcuinus’ speelse taalgebruik was baanbrekend. Het was de eerste keer dat humor gebruikt werd om leerlingen nieuwsgierig te maken naar rekenkunde. Maar de Propositiones was niet alleen belangrijk vanwege de stilistische vernieuwingen. Er waren ook verschillende nieuwe typen raadsels in opgenomen. Voor sommige was deductie nodig, maar geen berekeningen. Het bekendste raadsel van Alcuinus is misschien wel het beroemdste wiskundige raadsel aller tijden.

B

WOLF, GEIT EN KOLEN

Een man komt aan bij de oever van een rivier. Hijheeft een wolf, een geit en een zak kool bij zich. Hijmoet de rivier oversteken, maar de enige boot die beschikbaar is, kan niet meer dan hem en één enkel object tegelijk vervoeren. Hijkan de wolf niet achterlaten bij de geit of de geit bij de kool omdat in beide gevallen de eerste de laatste zal opeten.

Hoe steekt hij de rivier over in zo min mogelijk overtochten?

Dit raadsel is om twee redenen schitterend. Om te beginnen is het tafereel grappig. Je sjokt al de hele ochtend over een onverhard pad, waarbij je verwoede pogingen doet om de wolf uit de buurt van de geit te houden en de geit uit de buurt van de kool. En nu is je dag nog erger geworden: je moet een rivier oversteken in een belachelijk kleine boot. Maar wat ik het grappigst en interessantst vind aan dit scenario is de oplossing. Onze held wordt gedwongen zich te gedragen op een manier die tegen je intuïtie ingaat.

Probeer het eens. Volgens een dertiende-eeuwse tekst kan een vijfjarig kind het oplossen. Niets om je druk over te maken dus.

Of volg de logica met me.

Laten we aannemen dat de reiziger op de linkeroever staat. Hijbegint met drie objecten en kan er maar één tegelijk in de boot meenemen. Als hij de wolf meeneemt, blijft de geit achter met de kool en zal hij die opeten. Als hij de kool meeneemt, zal de wolf de geit opeten. De enige optie die overblijft, is dat hij bij zijn eerste overtocht de geit meeneemt, omdat wolven geen kool eten. Hijzet de geit af op de rechteroever en keert terug voor zijn volgende object.

Nu kan hij kiezen tussen de wolf en de kool. Stel dat hij besluit om de kool mee te nemen. Hijsteekt de rivier voor de derde keer over. Maar wanneer hij de rechteroever bereikt, kan hij de kool niet achterlaten bij de geit, dus wat moet hij nu? Hijschiet er niets mee op als hij terugkeert met de kool, daar is hij net mee aangekomen, dus moet hij terugkeren met de geit. Dit is de stap die tegen je intuïtie ingaat: de reiziger kan alles alleen naar de overkant krijgen als hij ergens mee oversteekt, het mee terugneemt en er later opnieuw mee oversteekt.

Terug op de linkeroever met de wolf en de geit, na vier keer overgestoken te zijn, bindt de reiziger de geit vast en begint met de wolf aan zijn vijfde oversteek. Op de rechteroever is de wolf nog steeds niet geïnteresseerd in de kool. Nu hoeft onze man nog maar één keer terug te reizen om het harige hoorndier op te halen en hij is klaar, met zeven keer oversteken.

(Er is een tweede – soortgelijke – oplossing: als hij tijdens zijn derde oversteek de wolf meeneemt, geldt dezelfde logica en klaart hij de klus ook in zeven tochten.)

Er staan nog andere raadsels in de Propositiones waarin rivieren overgestoken moeten worden, zoals deze, die klinkt als de plot van een klucht.

C

DRIE VRIENDEN EN HUN ZUSTERS

We waren eens met drie mannen die alle drie een zuster hadden, en we moesten met zijn allen een rivier oversteken. Maar we voelden ons allemaal aangetrokken tot de zuster van een van de anderen. Toen we bij de rivier aankwamen, lag daar alleen een kleine veerboot die maar twee mensen tegelijk kon dragen. Vertel me – als je kunt – hoe we de oversteek gemaakt hebben zonder dat onze zusters onteerd werden door alleen in een boot te zijn met een andere man dan hun broer.

Je kunt dit raadsel op twee manieren interpreteren, omdat Alcuinus’ formulering ambigu is. Wat buiten kijf staat is dat er drie tweetallen zijn die ieder bestaan uit een broer en een zuster, dat ze allemaal de rivier moeten oversteken en dat ze alleen een tweepersoons boot tot hun beschikking hebben. Maar er zouden twee verschillende beperkingen kunnen zijn: [1] Dat de boot nooit een man en een vrouw mag bevatten die geen familie van elkaar zijn. In dat geval kan de hele groep met negen overtochten op de andere oever komen. [2] Dat een vrouw zich niet in de boot mag bevinden zonder haar broer wanneer de boot passagiers oppikt of afzet op een oever waar andere mannen zijn. Het tweede scenario is denk ik meer in de geest van de vraag, en in dat geval zijn er elf overtochten nodig. Probeer beide oplossingen te vinden.

Kinderen en volwassenen genieten al meer dan duizend jaar van raadsels waarbij rivieren overgestoken moeten worden. Terwijl ze zich over de wereld verspreid hebben, hebben ze zich aangepast aan hun omgeving. In Algerije zijn de wolf, de geit en de kolen een jakhals, een geit en een hooibaal; in Liberia een cheeta, een kip en wat rijst; en in Zanzibar een luipaard, een geit en wat bladeren. Het raadsel met de drie vrienden en hun zusters is in de loop der eeuwen ook veranderd: de hitsige mannen werden al snel vervangen door jaloerse echtgenoten die hun vrouwen verboden met een andere man in de boot te reizen. In een dertiende-eeuwse hervertelling hebben de tweetallen namen: Bertoldus en Berta, Gherardus en Greta, en Rolandus en Rosa. De oplossing wordt gegeven in twee hexameters. Als je Latijn kunt lezen, kijk dan even weg.

Binae, sola, duae, mulier, duo, vir mulierque,

Bini, sola, duae, solus, vir cum muliere.

Tegen de zeventiende eeuw waren de tweetallen meesters en hun bedienden. Iedere meester verbood zijn bediende met een andere meester mee te reizen voor het geval die meester hem zou vermoorden. In de negentiende eeuw werd de sociale strijd omgekeerd: de tweetallen werden meesters en knechten, en het aantal knechten op een oever mocht niet groter zijn dan het aantal meesters, voor het geval de knechten in de verleiding zouden komen hun bazen te beroven. Toen werden het seksisme en de klassenstrijd vervangen door xenofobie: het klassieke raadsel veranderde in een reisgezelschap dat uit drie zendelingen en drie hongerige kannibalen bestond. Je leert van dit raadsel net zoveel over de evolutie van maatschappelijke stereotypen als over wiskunde.

Het volgende rivierraadsel dook op in de jaren 1980. Rond de eeuwwisseling gebruikte Microsoft het als een van zijn berucht lastige interviewvragen om het probleemoplossend vermogen van potentiële werknemers te testen. Hierbij is het belangrijk dat je zorgt dat de logische kant van je hersens je intuïtie overwint.

D

DE BRUG OVERSTEKEN (MET EEN BEETJE HULP VAN MIJN VRIENDEN)

Vier mensen – John, Paul, George en Ringo – staan aan één kant van een kloof. Een gammele brug die maar twee mensen tegelijk kan dragen verbindt de kloof met de overkant. Het is nacht en het bouwwerk is wankel, dus degene die oversteekt, heeft een zaklantaarn nodig. De groep heeft maar één zaklantaarn, en de kloof is te breed om de lantaarn van de ene naar de andere kant te gooien. De zaklantaarn moet dus heen en weer gedragen worden terwijl mensen oversteken. John heeft één minuut nodig om de brug over te steken, Paul twee, George vijf en Ringo tien. Als twee mensen samen oversteken, lopen ze in het tempo van de traagste van de twee.

Hoe kan dit kwartet zo snel mogelijk aan de andere kant komen?

Er is een voor de hand liggende manier om dit raadsel op te lossen: John begeleidt zijn vrienden een voor een, omdat hij het snelst terug kan keren om de volgende persoon op te halen. Met deze strategie kan iedereen oversteken in 2 + 1 + 5 + 1 + 10 = 19 minuten. Maar is er een snellere manier?

Terug naar Alcuinus, en een vraag uit de Propositiones:

Hoeveel hoefafdrukken laat een os achter in de laatste voor, als hij de hele dag geploegd heeft?

Geen, natuurlijk! De ploeg zal alle sporen uitgewist hebben. Het is de oudste strikvraag uit de puzzelliteratuur.

Een van de andere typen raadsels die voor het eerst in de Propositiones verscheen, is het ‘verwantschapsraadsel’, waarin je de relaties in onconventionele families moet achterhalen. Dit is mijn laatste keus uit het werk van de oude Yorker, voor we duizend jaar vooruitspringen.

E

DE DUBBELE BRUILOFT

Als twee mannen ieder met de moeder van de ander trouwen, wat is dan de relatie tussen hun ` zonen?

Ik vind verwantschapsraadsels ontzettend grappig. Hoe ernstig en logisch ik ook probeer te blijven als ik ze oplos, ik blijf gissen naar de bizarre verhalen erachter.

Dit type raadsel is al geliefd sinds de middeleeuwen. Het was erg populair in de victoriaanse tijd, toen het idee dat de traditionele gezinsverbanden ondermijnd werden misschien wel extra opwindend was.

Lewis Carroll was een liefhebber. Het volgende raadsel komt uit een van de hoofdstukken – of ‘knopen’, zoals hij ze noemde – van zijn boek A Tangled Tale (1885). Voor mij is dit het hoogtepunt van het genre.

F

HET ETENTJE

De burgemeester van – vul maar in – wil een heel intiem etentje geven, en hij is van plan om de zwager van zijn vader, de schoonvader van zijn broer, de broer van zijn schoonvader en de vader van zijn zwager te vragen. En wij mogen raden hoeveel gasten er zullen zijn.

Hoeveel gasten zijn er, als het gezelschap zo klein mogelijk gehouden wordt?

Waarschijnlijk is Carroll de schrijver die, via zijn boeken Alice in Wonderland en Door de spiegel, het idee dat logica leuk kan zijn het meest gepopulariseerd heeft. Beide verhalen zitten vol paradoxen, spelletjes en filosofische raadsels. Carroll, het pseudoniem van Charles Lutwidge Dodgson, een wiskundeprofessor aan de universiteit van Oxford, heeft ook drie boeken met wiskundige raadsels geschreven. Deze waren lang niet zo succesvol als de Alice-boeken, onder andere omdat de wiskunde erin te moeilijk was.

Carroll was echter een van de eersten die raadsels schreef die gebaseerd waren op oprechte karakters en leugenaars, een type logische hersenbreker dat later populair zou worden. Hijmerkte op dat het soms mogelijk is om af te leiden wie er de waarheid spreekt als verschillende mensen elkaar voor leugenaar uitmaken. ‘De afgelopen dagen heb ik een paar curieuze problemen wat betreft het “leugenaar”-dilemma uitgewerkt’, schreef hij in 1894 in zijn dagboek. Hierbij vermeldde hij het volgende raadsel, dat hier herschreven is met vertrouwde karakters. Het raadsel werd later dat jaar anoniem in pamfletvorm gepubliceerd.

G

HET HANGT VAN LEUGENS AAN ELKAAR

Berta zegt dat Greta liegt.

Greta zegt dat Rosa liegt.

Rosa zegt dat zowel Berta als Greta liegen.

Wie vertelt de waarheid?

We komen binnenkort terug op oprechte karakters en leugenaars.

Maar voor het zover is, kun je het logische raadsel, dat aan het begin van de jaren 1930 plotseling populair werd, oplossen?

H

SMITH, JONES EN ROBINSON

Smith, Jones en Robinson zijn de machinist, de brandwacht en de conducteur op een trein, maar niet per se in die volgorde. De trein vervoert drie passagiers die toevalligerwijs dezelfde achternamen hebben, maar dan met ‘meneer’ ervoor: meneer Jones, meneer Smith en meneer Robinson.

Meneer Robinson woont in Leeds.

De conducteur woont precies tussen Leeds en Sheffield in.

Meneer Jones verdient £1,000 2s. 1d. per jaar.

Smith is een betere biljarter dan de brandwacht.

Degene die het dichtst bij de conducteur woont (een van de passagiers), verdient precies drie keer zoveel als de conducteur.

De naamgenoot van de conducteur woont in Sheffield.

Hoe heet de machinist?

(Ik heb de oorspronkelijke bewoording van het raadsel, waarin het oude Britse muntstelsel gebruikt wordt, gehandhaafd. De waarde £1,000 2s. 1d., ofwel duizend pond, twee shilling en één penny, is belangrijk omdat je deze niet door drie kunt delen zonder het antwoord af te ronden.)

Ik vind dit een geweldig raadsel. Het verleidt je om een detective te worden. Op het eerste gezicht lijkt het alsof er veel te weinig informatie is om de vraag te beantwoorden. Maar stukje bij beetje, als je de aanwijzingen samenvoegt, ontdek je welke identiteit bij wie hoort.

Smith, Jones en Robinson verscheen in april 1930 in The Strand Magazine, een literair tijdschrift uit Londen. Niet lang daarna werd het een rage in Engeland, en werd het door het hele land in kranten herdrukt. Het verspreidde zich over de wereld, en in 1932 schreef de New York Times over de populariteit van het raadsel, waarbij een veramerikaniseerde versie afgedrukt werd waarin Leeds en Sheffield vervangen waren door Detroit en Chicago.

De simpelste manier om het raadsel op te lossen is door twee rasters te tekenen. Ik maak een beginnetje voor je. Voor Smith, Jones en Robinson moeten we uitvinden wie de machinist, wie de brandwacht en wie de conducteur is, dus teken een raster waarin de namen van de arbeiders en de beroepen staan (hieronder links weergegeven). Verder gaat de vraag ook over drie passagiers en drie locaties. Teken dus een tweede raster, waarin meneer Smith, meneer Jones en meneer Robinson uitgezet zijn tegen Leeds, Sheffield en hier tussenin (hieronder rechts weergegeven).

Het eerste wat we zeker weten, is dat meneer Robinson in Leeds woont, dus we kunnen een vinkje zetten in het meneer Robinson/Leeds hokje, en kruisjes in de hokjes die aangeven dat meneer Robinson ergens anders woont, of dat iemand anders in Leeds woont. Om meer hokjes te vullen moeten we de andere aanwijzingen combineren. Bijvoorbeeld: degene die het dichtst bij de conducteur woont, een passagier, verdient precies drie keer zoveel als de conducteur. Dus we kunnen meneer Jones schrappen als degene die het dichtst bij de conducteur woont, omdat zijn salaris niet deelbaar is door drie. De rest van het speurwerk laat ik aan jou over.

De bedenker van Smith, Jones en Robinson stierf in de maand dat het verscheen. Henry Ernest Dudeney was 73 en schreef al meer dan twintig jaar raadsels voor The Strand. Hijwas de briljantste wiskundige puzzelontwerper van zijn tijd, en toch zou je kunnen zeggen dat hij pas postuum, met Smith, Jones en Robinson, zijn grootste succes behaald heeft. ‘Het resultaat was verbluffend,’ schreef Hubert Phillips, de redacteur van de bridgerubriek en de kruiswoordpuzzel, toen de New Statesman het raadsel opnieuw publiceerde. ‘Een stortvloed aan oplossingen (hoewel daar niet om gevraagd was) toonde aan dat er een zeer breed en geïnteresseerd publiek is voor inferentiële raadsels.’

Phillips zelf was een voormalig economiedocent en adviseur van de Liberale Partij. Hijwas begin veertig toen het raadsel werd gepubliceerd en was nog maar net begonnen als journalist. De ongeëvenaarde belangstelling voor het raadsel leidde ertoe dat hij zijn bridgerubriek opgaf en hem verving door een gewoon logisch raadsel. In de jaren 1930 werd Phillips een productieve en innovatieve bedenker van wiskundige (en andere) raadsels, en zorgde hij dat het decennium een gouden eeuw voor het genre werd.

Ik hou erg van de volgende twee raadsels van hem. De eerste is een detective. De tweede is een grappige knipoog naar de traditie van verwantschapsraadsels.

I

SINT STOMKOP

De Sint Stomkopschool in Nevelgat heeft een goede reputatie als het om hockey gaat, maar minder als het gaat om de waarheid vertellen. Hun eerste elftal pas een wedstrijd gespeeld in Zwendelland, waarna de meisjes naar een concert mochten. Juffrouw Koekeloer, de docent die de leiding had, kwam de meisjes na afloop ophalen. Ze zag tien meisjes uit de concertzaal komen, en eentje uit de bioscoop ernaast. Toen ze vroeg wie er naar de bioscoop was geweest, antwoordden de teamleden als volgt:

Johanna Jerrycan:

‘Het was Johanna Twijg.’

Femke Flater:

‘Ik was het.’

Barbara Bot:

‘Femke Flater liegt.’

Sandra Spits:

‘Femke Flater liegt, en Johanna Jerrycan ook.'

Marie de Bruin:

‘Het was Barbara Bot.’

Dora de Bruin:

‘Het was niet Barbara, en ik was het ook niet.'

Kim de Bruin:

‘Het was geen van de De Bruins.’

Johanna Twijg:

‘Het was of Barbara Bot of Sandra Spits.’

Johanna Klok:

‘De twee andere Johanna’s liegen.’

Laura Lam:

‘Maar één van de De Bruins vertelt de waarheid.’

Wilma Warrig:

‘Nee, twee van de De Bruins vertellen de waarheid.’

Als we aannemen dat minstens zeven van de elf uitspraken niet waar zijn, wie is er dan naar de bioscoop geweest?

J

EEN KWESTIE VAN VERWANTSCHAP

Kinsleydale moet een tekort gekend hebben aan beschikbare jonge vrouwen, want alle vijf mannen zijn er getrouwd met de weduwe geworden moeder van een van de anderen. Jenkins’ stiefzoon, Tomkins, is de stiefvader van Perkins. Jenkins moeder is een vriendin van mevrouw Watkins, wier schoonmoeder een nicht is van mevrouw Perkins.

Hoe heet de stiefzoon van Simkins?

Logische raadsels als deze staan tegenwoordig bekend als ‘rasterraadsels’, omdat je ze het beste kunt oplossen door een raster te tekenen waarin je alle mogelijkheden tegen elkaar uitzet. Het beroemdste raadsel uit het genre, het Zebraraadsel, dateert uit de jaren 1960. De auteur is onbekend.

Het raadsel verscheen voor het eerst in 1962, in het tijdschrift Life International. Het wordt vaak ‘Einsteins raadsel’ genoemd omdat hij het geschreven zou hebben, wat een indrukwekkende prestatie zou zijn omdat hij in 1955 overleed. Er wordt ook vaak gezegd dat maar 2 procent van de bevolking het raadsel kan oplossen. Dit is waarschijnlijk niet waar, maar het is een briljant lokkertje.

K

HET ZEBRARAADSEL

1.Er zijn vijf huizen.

2.De Schot woont in het rode huis.

3.De Griek heeft een hond.

4.In het groene huis wordt koffie gedronken.

5.De Boliviaan drinkt thee.

6.Het groene huis staat rechts naast het ivoren huis.

7.Degene die brogues draagt, houdt slakken.

8.In het gele huis dragen ze bordeelsluipers.

9.In het middelste huis drinken ze melk.

10.De Deen woont in het eerste huis.

11.Degene die Birkenstocks draagt, is de buurman van degene die de vos heeft.

12.Het huis waarin ze bordeelsluipers dragen, ligt naast het huis waar het paard gehouden wordt.

13.Degene die sloffen draagt, drinkt sinaasappelsap.

14.De Japanner draagt Havaianas.

15.De Deen woont naast het blauwe huis.

Nu je dit weet, wie drinkt er water? En van wie is de zebra?

Voor alle duidelijkheid, alle vijf huizen zijn in een andere kleur geschilderd, en hun bewoners hebben verschillende nationaliteiten, bezitten verschillende huisdieren, drinken verschillende drankjes en dragen verschillende soorten schoenen. In de versie in Life rookten de buren sigaretten van verschillende Amerikaanse merken. Ik heb deze rubriek vervangen door schoenen omdat Einstein erom bekendstond dat hij nooit sokken droeg.

De reactie die Life van zijn lezers kreeg, was overweldigend. ‘Het tijdschrift lag nog maar net in de schappen toen onze postkamer volstroomde met brieven,’ schreef de uitgever in het volgende nummer, waar het raadsel op de omslag stond. ‘Ze waren afkomstig van advocaten, diplomaten, artsen, ingenieurs, docenten, natuurkundigen, wiskundigen, kolonels, soldaten, priesters en huisvrouwen – en van een aantal verbluffend erudiete en logische kinderen. De inzenders woonden duizenden kilometers bij elkaar vandaan – in Engelse provinciedorpen, op de Faeröer Eilanden, in de Libische Woestijn, in Nieuw-Zeeland – maar ze hadden één talent gemeen: een buitengewoon hoge intelligentie.’ Lezer, stel me niet teleur.

Als je hiervan genoten hebt, zul je de breinbrekende briljantie van het volgende raadsel waarderen. Het is bedacht door Max Newman, een jonge logicus die verbonden was aan de universiteit van Cambridge. Het verscheen in 1933 in Hubert Phillips’ rubriek in de New Statesman. Phillips publiceerde zijn New Statesman-raadsels onder het pseudoniem Caliban, de half-duivelse slaaf uit De storm (The Tempest) van Shakespeare. Voor veel van zijn Calibanraadsels werkte hij samen met professionele wiskundigen, en dit was verreweg het meest diabolische.

Deze puzzel is een geniaal stukje werk. De informatie in de vraag lijkt hopeloos tekort te schieten voor een oplossing, maar natuurlijk staat er precies wat je nodig hebt. In The Mathematical Gazette stond dat Newmans raadsel een ‘juweeltje’ was, dat ‘je moet oplossen om het te geloven’. Ook ik had moeite met dit raadsel, maar dat weerhield me er niet van de spaarzaamheid te bewonderen, of te huiveren om de brute elegantie van de oplossing.

L

CALIBANS TESTAMENT

Toen Calibans testament geopend werd, bevatte het de volgende clausule:

‘Ik laat Low, Y.Y. en “Critic” ieder tien boeken na, die ze in een bepaalde volgorde mogen kiezen:

[1] Niemand die me met een groene stropdas heeft gezien mag kiezen voor Low gekozen heeft.

[2] Als Y.Y. in 1920 niet in Oxford was, dan heeft degene die het eerst mag kiezen mij nooit een paraplu geleend.

[3] Als Y.Y. of “Critic” als tweede mag kiezen, heeft “Critic” voorrang op degene die als eerste verliefd werd.’

Helaas konden Low, Y.Y. en ‘Critic’ zich geen van de relevante feiten herinneren. De notaris van de familie wees er echter op dat de relevante informatie en de volgorde afgeleid konden worden, aangenomen dat het raadsel goed opgesteld was (met andere woorden, aangenomen dat het geen mededelingen bevatte die overbodig waren voor de oplossing).

In welke volgorde moet er gekozen worden?

Low, Y.Y. en ‘Critic’ waren collega’s van Phillips bij de New Statesman, maar dat helpt niet veel. Het belangrijkste idee is dat ieder brokje informatie relevant is, dus je moet iedere oplossing waarbij een (deel van een) verklaring overbodig is uitsluiten. Later zou Newman zijn raadselopstellende hersenen inzetten voor het serieuzere raadseloplossen. Tijdens de Tweede Wereldoorlog gaf hij in Bletchley Park leiding aan een groep cryptoanalisten – de Newmanry – wat leidde tot de bouw van Colossus, de eerste programmeerbare elektronische computer ter wereld. Newman was een collega en goede vriend van Alan Turing, de grondlegger van de theoretische computerwetenschap. Newmans colleges aan Cambridge waren zelfs de inspiratiebron voor Turings baanbrekende verhandeling On Computable Numbers. Toen Newman na de oorlog in Manchester de Royal Society Computing Machine Laboratory oprichtte, haalde hij Turing over om zich bij hem aan te sluiten.

Hubert Phillips is de oudst bekende bron van het volgende fantastische raadsel: het duel tussen drie personen, oftewel ‘truel’, wat ik herschreven heb als eerbetoon aan een film die op die manier eindigt.

M

DRIEZIJDIG VUURGEVECHT

Good, Bad en Ugly staan op het punt deel te nemen aan een driezijdig vuurgevecht. Ze staan allemaal op één van de drie hoeken van een driehoek. De regels zijn dat Ugly eerst mag schieten, dan Bad, dan Good, waarna de beurt weer aan Ugly is. Dit gaat in dezelfde volgorde verder tot er nog maar één persoon over is. Ugly is de slechtste schutter en raakt zijn doelwit maar een op de drie keer. Bad is beter, en raakt zijn doelwit twee van de drie keer. Good is de beste schutter; hij mist nooit.

Je mag ervan uitgaan dat iedereen de beste strategie volgt en dat niemand geraakt wordt door een kogel die niet voor hem bestemd is. Op wie moet Ugly mikken om de beste overlevingskansen te hebben?

Hier volgen nog drie logische raadsels van het soort waarvan Hubert Phillips de voorloper was, al heeft hij deze niet geschreven. Het zijn net eenakters, en ze zijn net lastig genoeg om het vinden van de oplossing heerlijk bevredigend te maken.

N

APPELS EN PEREN

Er staan drie dozen voor je. De eerste heeft een etiket met het opschrift ‘appels’, de tweede met ‘peren’ en de derde met ‘appels en peren’. Eén doos bevat appels, één peren en één zowel appels als peren. Alle etiketten zitten echter op de verkeerde doos. Het is jouw taak om alle etiketten op de juiste plaats te krijgen. Je kunt niet zien (of ruiken) wat er in de dozen zit. Maar je mag je hand in één doos steken en er één vrucht uit halen.

Welke doos kies je? En hoe bepaal je aan de hand van de vrucht die je vindt wat er in alle dozen zit?

O

ZOUT, PEPER EN RELISH

Stef Zout, Piet Peper en Rik Relish zijn samen aan het lunchen wanneer de man onder hen opmerkt dat een van hen het zout opgepakt heeft, de tweede de peper en de derde de relish.

Degene die het zout vasthoudt, antwoordt: ‘Wat de situatie nog pikanter maakt, is dat geen van ons de smaakversterker heeft die bij onze achternaam hoort!’