KUNNEN VISSEN TELLEN?

BRIAN
BUTTERWORTH

KUNNEN
VISSEN
TELLEN?

HET OPMERKELIJKE

REKENKUNDIGE

BREIN VAN MENS EN DIER

FONTAINE UITGEVERS

Dit eBoek is een uitgave van Fontaine Uitgevers, Amsterdam

www.fontaineuitgevers.nl

Oorspronkelijke titel: Can Fish Count?

Oorspronkelijke uitgever: Quercus

© 2022 Brian Butterworth

Voor de Nederlandstalige uitgave:

© 2022 Fontaine Uitgevers, Amsterdam

www.fontaineuitgevers.nl

Vertaling: Rob de Ridder

Opmaak: Aard Bakker

Omslagontwerp: Buro Blikgoed

Auteursfoto: Rupert Truman

eBoek verzorging: Pre Press Media Groep, Leerdam

ISBN 978 94 6404 183 5

NUR 400

Deze digitale uitgave is gemaakt naar de eerste druk, 2022 met ISBN 978 94 6404 182 8.

Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand of openbaar gemaakt door middel van druk, fotokopie, microfilm, elektronisch databestand of op welke andere wijze ook, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever.

Deze uitgave is met de grootst mogelijke zorgvuldigheid samengesteld. Noch de maker, noch de uitgever stelt zich echter aansprakelijk voor eventuele schade als gevolg van eventuele onjuistheden en/of onvolledigheden in deze uitgave.

Kunnen vissen, bijen en zelfs garnalen tellen? Het antwoord is ja! Dit onderhoudende boek voor bèta's én alfa’s laat zien hoe ze dat doen en hoe ze net als de mens dagelijks belangrijke keuzes maken op basis van getallen.

Dat dieren tellen blijkt uit verrassend onderzoek met onder meer chimpansees, guppy's en kraaien. Kikkers kiezen een partner aan de hand van het aantal kwaken. Leeuwen bepalen hun verdediging door te luisteren naar het aantal aanvallers dat ze horen brullen.

En sommige vogels tellen net zo goed als kleine kinderen.

Hoe wij mensen de vaardigheid om te tellen en rekenen al sinds duizenden jaren handig benutten en hoe die zich ook bij verschillende diersoorten manifesteert laat brein-hoogleraar Brian Butterworth zien in Kunnen vissen tellen? Butterworth legt uit hoe het rekenkundige deel van de hersenen in elkaar zit en hoe mens en dier daarmee hun voordeel doen. Met verhelderende illustraties.

‘Een plezier om te lezen!’

– Ian Stewart, auteur van Professor Stewart’s verzameling van wiskundige raadsels

Brian Butterworth is emeritus hoogleraar Cognitieve neuropsychologie.

Hij doet onderzoek naar de genetische en neurologische kant van wiskundige aanleg en dyscalculie. Butterworth is lid van de British Academy en auteur van The Mathematical Brain en verschillende wetenschappelijke publicaties. Hij woont in Londen.

Voor Diana, Amy en Anna,
die allemaal tellen

INHOUD

Voorwoord

1 De taal van het universum

2 Kunnen mensen tellen?

3 Botten en stenen en de eerste telwoorden

4 Kunnen apen tellen?

5 Zoogdieren, groot en klein

6 Kunnen vogels tellen?

7 Kunnen amfibieën en reptielen tellen?

8 Kunnen vissen tellen?

9 Zijn grotere hersenen echt beter?

10 Wat telt?

Dankbetuiging

Afbeeldingen: credits en bronnen

Noten

Register

VOORWOORD

De moderne wetenschap is een teamsport. Wie in jouw team zit, is deels een kwestie van geluk en ik vind dat ik erg geboft heb met de teams waarin ik de afgelopen jaren heb gespeeld. Niet alleen had ik dit boek nooit kunnen schrijven zonder al die toevallige ontmoetingen die ik in de loop der jaren heb gehad, ik zou er niet eens aan hebben gedacht.

Zo’n ontmoeting vond plaats tijdens een congres in Ravello met Carlo Semenza, psycholoog, psychiater en neurowetenschapper van de Universiteit van Padua. Hieruit kwam een langdurige samenwerking voort, in het begin over taalstoornissen, maar later over wiskundige cognitie en daaraan gerelateerde stoornissen.

Vermoedelijk zou ik nooit serieus zijn gaan nadenken over rekenvaardigheden als mijn toenmalige student Lisa Cipolotti daar niet mee bezig was geweest. Lisa was oorspronkelijk een van Carlo’s pientere studenten die me had gevraagd of ze naar Londen kon komen om te promoveren op afasie. Eenmaal bij ons besloot ze echter geen onderzoek te gaan doen naar afasie, een taalstoornis waar al veel onderzoek naar was gedaan, maar naar een stoornis die nog door heel weinig mensen was onderzocht. En zo richtten we ons onderzoek op de neuropsychologie van het rekenen, waar op dat moment nauwelijks aan werd gewerkt. Samen met Carlo en zijn Oostenrijkse student Margarete Hittmair en met de grensverleggende neuropsycholoog Elizabeth Warrington vormden we een team aan het National Hospital for Neurology in Londen om niet-erfelijke rekenstoornissen te onderzoeken, door de Europese Unie ondersteund met een beurs. Hierdoor werd ook het samenwerkingsverband tussen Londen en Padua in het leven geroepen dat nog steeds bestaat.

Uit onderzoek onder patiënten met neurologische stoornissen bleek allereerst dat het belangrijkste hersengebied voor numerieke processen zich in een klein deel van de pariëtale kwab bevond en dat het volwassen hersennetwerk onafhankelijk leek te zijn van andere cognitieve processen. (Dit was overigens geen nieuwe ontdekking, maar een meer gedetailleerde herhaling van onderzoek dat al vanaf de jaren 1920 is gedaan.) Interessanter was echter dat het georganiseerd leek te zijn in verschillende componenten, die stuk voor stuk los van elkaar konden zijn aangetast door een hersenstoornis. Dit betrof het volwassen brein, maar ik besloot me erin te verdiepen hoe de hersenen deze componenten ontwikkelen en waarom juist in deze specifieke gebieden. Erven we een brein dat zo is georganiseerd dat het numerieke informatie kan halen uit de omgeving? En als dat zo is, hoe diep gaan dan de wortels hiervan in de evolutionaire geschiedenis? Kan deze erfenis zich ook verkeerd ontwikkelen, zoals kleurenblindheid zich ontwikkelt?

In 1989, toen Lisa bij mij kwam werken, werden onderzoeken in wiskundecognitie verricht in afzonderlijke vakgebieden met heel hoge muren: neuropsychologie van wiskundige stoornissen, cognitieve psychologie bij volwassenen, ontwikkelingspsychologie, dierstudies, wiskundeonderwijs, wiskundefilosofie en het begin van de hersenscan. Onderzoekers op die gebieden spraken zelden met elkaar, maar net als enkele andere onderzoekers vermoedde ik dat het hele vakgebied meer progressie zou boeken als ze dat juist wel deden. Toen hadden we opnieuw een beetje geluk. Mijn vriend Tim Shallice van de International School for Advanced Studies in Triëst wist ergens geld vandaan te toveren om in 1994 in deze stad een workshop van een week te organiseren. Hier konden we voor de allereerste keer heel wat topgeleerden en enkele topstudenten vanuit de hele wereld bij elkaar brengen om hun de gelegenheid te bieden met elkaar te praten. Een bijna direct gevolg hiervan was dat ik erin slaagde geld te vinden voor het organiseren van een Europees netwerk van zes laboratoria, NeuroMath, en daarna nog eens een wereldwijd netwerk van acht, Numbra, om deze interdisciplinaire benadering samen te stimuleren. Door de workshop in Triëst en de netwerken die daaruit zijn ontstaan heb ik een verbazingwekkend aantal inspirerende wetenschappers kunnen ontmoeten om mee te discussiëren en samen te werken. Aanwezig in Triëst was Stanislas Dehaene, een van de belangrijkste grondleggers van dit hele terrein, en zijn bijdrage heeft aan de basis gelegen van mijn denken. Geen symposium van naam is compleet zonder filosoof, en wij waren zo gelukkig dat mijn collega aan het UCL (University College London), Marcus Giaquinto, een uitmuntend wiskundefilosoof, aanwezig was en erin slaagde ons, en mij in het bijzonder, op het filosofisch smalle rechte pad te houden.

Een student die zich op dat moment wel in Triëst bevond, maar niet bij de bijeenkomst aanwezig was, was Marco Zorzi. Hij bracht enige tijd in mijn lab door waar hij baanbrekend werk verrichtte naar het gebruik van neurale netwerken om een model te maken van lezen en later van basale rekenprocessen. Nu staat professor Zorzi in Padua aan het hoofd van een van de meest innovatieve laboratoria voor wiskundecognitie ter wereld.

Randy Gallistel en Rochel Gelman waren ook aanwezig op de bijeenkomst. We werden vrienden, en ik heb sindsdien met beiden vele leuke uurtjes beleefd in verschillende delen van de wereld. Vaak discussieerden we al vanaf het ontbijt over het rekenkundig vermogen van mensen en andere dieren. Hun benadering van deze onderwerpen heeft me, zoals je nog zult zien, vergaand beïnvloed.

Randy, Giorgio Vallortigara, onderzoeker van diergedrag aan de Universiteit van Trento (Italië), en ik organiseerden in 2017 een interessant vierdaags congres bij de Royal Society over ‘De oorsprong van rekenkundige vaardigheden’. Hier kwam een wonderlijke groep geleerden op af die het onderwerp vanuit veel verschillende perspectieven benaderden, van archeologie tot insecten. We wijdden vier lange dagen aan getallen – eigenlijk vijf, aangezien Ophelia Deroy de dag ervoor een internationaal symposium had georganiseerd over de filosofie van de wiskunde aan het Institute of Philosophy in Londen. Vijf dagen over getallen: ik vond het geweldig. In zekere zin is dit boek een poging om wat er op deze bijeenkomsten is besproken toegankelijk te maken voor de algemene lezer.

Christian Agrillo uit Padua, toen nog student, heeft mijn belangstelling voor de rekenkundige vermogens van vissen gewekt. Momenteel werk ik samen met Caroline Brennan en Giorgio in een project over de genetica van dit vermogen bij zebravissen. Tetsuro Matsuzawa, die ik voor het eerst ontmoette tijdens een zomercursus van NeuroMath, nodigde me uit om een bezoek te brengen aan het Primaten Onderzoeksinstituut van de Universiteit van Kyoto om te komen kijken naar zijn inspirerende werk met chimpansees.

Elementair voor mijn hele benadering is altijd mijn werk met Bob Reeve geweest aan de vroege ontwikkeling van rekenkundige vermogens bij de bevolking van Australië in het algemeen en die van de oorspronkelijke bewoners van het land.

Mijn werk is in de loop der jaren door veel instellingen en stichtingen financieel gesteund. De Leverhulme Trust heeft ons werk met Aboriginal-kinderen gesteund en steunt nu mijn vissenonderzoek met Brennan en Vallortigara. De Australian Research Council heeft Reeve en mij gesteund bij onze longitudinale onderzoeken naar wiskundige ontwikkeling. De Wellcome Trust heeft veel van onze studies met kinderen, volwassenen en neurologische patiënten gefinancierd.

Ik moet mijn literair agent, Peter Tallack van de Science Factory, bedanken. Hij presteerde het dit project van de grond te krijgen nadat ik dat jarenlang vruchteloos zelf had geprobeerd.

Ik was al geïnteresseerd in de grondslagen van de wiskunde sinds ik als tiener Bertrand Russell las, en vooral in de onvolledigheidsstellingen van Gödel, toen ik in 1967 toevallig Diana Laurillard ontmoette, student wiskunde en filosofie, op wiens feestje ter gelegenheid van Bonfire Night ik onuitgenodigd binnenviel. Het feest werd even onderbroken door een politie-inval, maar ik kwam er toen wel achter dat zij ook geïnteresseerd was in Gödels stellingen. Een prettige bijkomstigheid is dat Diana tot op de dag van vandaag geïnteresseerd in mijn werk en mij is gebleven. We onderzoeken nu samen hoe resultaten uit de wetenschap kunnen worden omgezet in praktische toepassingen voor het onderwijs. Ook luistert ze geduldig naar mijn ideeën en corrigeert die indien nodig. Eventuele fouten en vergissingen in dit boek moeten dus zelfs aan haar zeer kritische blik ontsnapt zijn.

1

DE TAAL VAN HET UNIVERSUM

Galilei (1564-1642) heeft gezegd dat wiskunde de taal is waarin het universum is geschreven en dat we die niet kunnen kennen als we niet de karakters leren waarin die taal geschreven is. Achthonderd jaar eerder schreef de geweldige Perzische wiskundige Al-Chwarizmi (in het Latijn: Algoritmi, ca. 780-ca. 850): ‘God heeft alles in getallen geschapen.’ In 1960 schreef de befaamde winnaar van de Nobelprijs voor Natuurkunde Eugene Wigner (1902-1995) zijn beroemd geworden artikel ‘The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences’. Wiskunde, zo beweerde hij, bevatte het bovennatuurlijke vermogen verschijnselen in de natuurlijke wereld te beschrijven en te voorspellen. De suggestie is dat wiskunde niet slechts een instrument is om de wereld te beschrijven, maar eerder dat er iets met die wereld is dat diepgaand wiskundig is. Dit idee gaat nog verder terug dan Al-Chwarizmi, naar Pythagoras (ca. 570-495 v.C.), die gezegd zou hebben: ‘Alles is een getal.’

In zekere zin is dit allemaal onzin, maar misschien schuilt er ook wel een diepere waarheid in. Pythagoras kan de eerste zijn geweest die de numerieke structuur van toonhoogte heeft opgemerkt, en we gebruiken nog steeds termen als harmonische evenredigheid en harmonische reeks. Ook legde hij de relatie vast tussen getallen en vormen, en ook deze termen gebruiken we nog steeds: vierkante, kubieke, trigonale, piramidale getallen. Hebben we ons eenmaal verplaatst in de geest van de pythagoreeërs, dan kunnen we ons de wereld voorstellen alsof hij uit deze numeriek gedefinieerde objecten opgebouwd is, op een nogal atomaire of moleculaire wijze.

Het vinden van wiskundige structuren in de wereld is het werk van mensen die we nu wetenschappers zouden noemen, en zij zijn het tot wie Galilei, Al-Chwarizmi en Pythagoras zich richtten. Aangenomen is wel dat wetenschappers elders in het universum in staat zouden zijn de taal van het universum te begrijpen, als hun intelligentie daar tenminste voldoende voor is. Als ze ons wilden laten zien dat ze echt intelligent waren, dan zouden ze iets numerieks hebben uitgezonden. De uitdaging om radiografisch te communiceren met aliens werd enthousiast opgepakt door Nikola Tesla (1856-1943), die beweerde een signaal te hebben opgevangen uit ‘een andere wereld, onbekend en ver weg’. Het begon met tellen: ‘Eén … twee … drie …’.¹ De Amerikaanse wetenschapper Carl Sagan (1934-1996) liet zijn extraterrestrials in zijn sciencefictionroman Contact een reeks priemgetallen uitzenden.

In 1960 publiceerde de Nederlandse wiskundige Hans Freudenthal (1905-1990) zijn kunsttaal Lincos (van Lingua Cosmica), die niet alleen getallen codeerde door middel van aantallen pulsen, maar ook de relaties tussen de getallen, zoals ‘is gelijk aan’, ‘groter dan’ enzovoorts, om de ontvangende intelligente wezens te bewijzen dat wij een net zo ver ontwikkelde beschaving waren.² In de film die in 1997 van Contact is gemaakt, ontvangen astronomen van seti (search for extraterrestrial intelligence) een radioboodschap uit de ruimte waarin een Lincos-achtig woordenboek is opgenomen.

Maar moet je echt een ontwikkelde beschaving zijn, of zelfs heel slim, om iets te kunnen begrijpen van de taal van het universum? Kunnen de naar verhouding domme medebewoners van onze eigen wereld, andere diersoorten dan de mens, de taal van het universum ook begrijpen, of dan tenminste het soort karakters die in Lincos worden voorgesteld, de hele of natuurlijke getallen 0, 1, 2, 3 en de verhoudingen ertussen?

In de materiële wereld zijn getallen fundamenteel: de watermolecule H₂O bestaat uit drie atomen: twee waterstofatomen en één zuurstofatoom; stikstofmonoxide NO (een belangrijke cardiovasculaire signaalstof) bestaat uit twee atomen, stikstof en zuurstof; distikstofoxide N₂O, lachgas, is een verdovend middel en bestaat uit drie atomen: twee stikstof- en één zuurstofatoom; stikstofdioxide no₂ is een bijzonder milieuverontreinigende goedje en bestaat uit één stikstof- en twee zuurstofatomen. Wij hebben vier ledematen, insecten hebben er zes, spinnen en octopussen acht. Wij hebben twee ogen, maar sommige spinnen hebben er wel acht.

Dit zijn echte eigenschappen van de echte wereld. Dingen zouden heel anders zijn als deze getallen veranderden, als we bijvoorbeeld drie armen hadden en drie ogen. De rekenkundige structuur van de wereld is belangrijk voor ons als wetenschappers, maar kan ook voor andere schepsels belangrijk zijn. Kijk bijvoorbeeld eens naar de volgende getallen in de echte wereld.

Ik kan drie rijpe vruchten zien hangen in die boom en vijf in deze. Ik kan vijf indringers horen in mijn territorium, maar wij zijn maar met ons drieën. Daar zwemmen drie kleine visjes zoals ik, en hier vijf. Ik kan hier vijf keer achter elkaar horen kwaken en daar bij de vijver zes keer. Tussen mijn huis en de voedselbron kwam ik langs drie dikke bomen.

Al die getallen hebben een evolutionaire betekenis en als een schepsel ze kan herkennen, dan kan dat een voordelige aanpassing zijn. Wie voedsel zoekt, heeft er voordeel bij om de boom met vijf rijpe vruchten te kiezen in plaats van die met drie, en de vrouwtjeskikker heeft er voordeel bij als ze paart met een mannetje dat in één ademteug zes keer kan kwaken in plaats van slechts vijf keer (zie hoofdstuk 8). De kans is groter dat leeuwen overleven en zich voortplanten indien ze alleen indringers aanvallen als ze in de meerderheid zijn (zie hoofdstuk 5).

Deze ideeën vormen het uitgangspunt van dit boek. Kunnen onze unieke rekenkundige vermogens een evolutionaire basis hebben? Hoe zouden we erachter kunnen komen of schepsels zonder taal kunnen reageren op de numerieke structuur van het universum?

Er wordt al honderd jaar onderzoek gedaan naar de vermogens van dieren om de wiskundige structuur van hun wereld te begrijpen. Dat betekent echter niet dat hun vermogens, als ze al bestaan, evolutionaire antecedenten zijn van de onze. Daarvoor zou een genetische schakel moeten bestaan tussen hen en ons. Er is een voorbeeld dat hiervoor mogelijk als aanwijzing zou kunnen dienen. We weten dat er genen zijn voor timing die meer dan 600 miljoen jaar bewaard zijn gebleven, uit de tijd voordat de ongewervelde dieren (insecten, spinnen enzovoorts) en de gewervelde dieren (vissen, reptielen, zoogdieren) zich afsplitsten. Deze genen hebben heel handig de namen CLOCK (voor klok), per (voor periode) en TIM (voor het reguleren van de tijd van het circadisch ritme, het dagritme) gekregen. We kunnen deze genen vinden in fruitvliegjes (Drosophila melanogaster) en de ‘nakomelingen’ van deze genen bij een gemeenschappelijke voorouder in mensen. Timing is een wiskundige eigenschap van de wereld, omdat tijdsduur kan worden voorgesteld met een getal. We zouden dus genen voor numerieke vermogens kunnen vinden die samengaan met de genen voor timing.

WAT IS EEN GETAL? WAT IS TELLEN?

Voordat ik dieper in de materie duik, lijkt het me verstandig dat ik eerst duidelijk maak wat ik onder getallen en tellen versta. Alle lezers van dit boek denken dat ze weten wat ‘getallen’ zijn. Ze kunnen denken aan de woorden één, twee, drie of aan de symbolen 1, 2, 3 of aan allebei. Omdat we zijn opgevoed in een numerieke cultuur en hebben geleerd te tellen met telwoorden, denken we misschien uit gewoonte aan tellen als het onvermijdelijke opzeggen van ‘één, twee, drie…’. Wetenschappers moeten echter specifieker zijn dan dat.

Om te beginnen zijn er veel soorten getallen: positieve hele getallen of natuurlijke getallen; gehele getallen, waartoe ook de negatieve getallen behoren; breuken, decimalen, imaginaire getallen (i, de wortel uit -1) en zelfs de surreële getallen van de grote wiskundige John Conway. Tot de hele getallen behoren ordinaalgetallen voor geordende reeksen, zoals de nummers van de bladzijden van een boek of huisnummers in een straat, die niet direct verwijzen naar een grootheid. Zo is mijn huis 44, maar het is precies even groot als dat van de buren op 42 en 46. Deze bladzijde is net zo groot als de volgende. Getallen, nummers, zijn er voor tv-kanalen en dan zijn er ook nog telefoonnummers. Deze verwijzen niet naar grootheden, maar ook niet naar een geordende reeks. En het is totaal onzinnig om te vragen of mijn telefoonnummer groter of kleiner is dan het jouwe, of dat het eerder komt of juist later dan het jouwe. Het soort getal dat verwijst naar grootheid, is een kardinaalgetal. Het verwijst naar de kardinaliteit (de grootte) van een verzameling.³

Het idee van een verzameling dat ten grondslag ligt aan het idee van kardinaalgetallen behoeft enige uitleg. Denk aan een verzameling van drie dingen, bijvoorbeeld de verzameling van drie munten in een fontein. Verzamelingen en hun omvang hangen niet af van wat de voorwerpen zijn: dat kunnen drie munten zijn (dingen), drie plonzen (geluiden) of drie wensen (gedachten). Het belangrijkste is hier dat deze verzamelingen niets anders gemeen hebben dan dat ze uit drie bestaan. Dit voert naar een oud filosofisch probleem, waar ik in het laatste hoofdstuk op in zal gaan.

In dit boek heb ik het verder over kardinaalgetallen, behalve waar ik iets anders aangeef. Hier wil ik echter eerst nog een nieuwe term introduceren, numerositeit, om te verwijzen naar de grootte van de verzameling, in plaats van de term kardinaliteit uit de logica en de wiskunde te gebruiken. Ik doe dit omdat we het gaan hebben over wat er omgaat in het brein van een dier, niet over logica of wiskunde.

Ik volg het voorstel van de eminente geleerde Randy Gallistel om te beoordelen of een dier, of een mens, echt in staat is zich numerositeit in het brein voor te stellen.⁴ Hiervoor legt hij twee criteria aan:

(a) Stellen zij zich numerositeit voor als een afzonderlijke eigenschap van een verzameling, te onderscheiden van de eigenschappen van de voorwerpen binnen de verzameling?

Dit is precies in overeenstemming met wat ik hierboven beschreef.

Het is niet voldoende om je numerositeit voor te stellen, je moet er ook iets mee kunnen doen. Je moet ermee kunnen rekenen, er, wat Gallistel noemt, ‘combinatorische operaties’ van een bepaald type mee uitvoeren.

(b) Voeren ze met de weergaven van numerositeit combinatorische operaties uit die isomorf zijn aan [gelijkvormig zijn met] de rekenkundige operaties (=, <, >, –, ×, :) die het getallenstelsel definiëren?

We kunnen ons dus afvragen of een dier op een of andere manier kan inzien dat twee verzamelingen dezelfde numerositeit hebben (=), dat verzameling A groter is dan verzameling B (A > B) en dat de som van de verzamelingen A en B gelijk is aan verzameling C (A + B = C). Van delen en vermenigvuldigen denk je misschien dat dat veel moeilijker is, maar voor een dier is het berekenen hoe vaak voedsel of een predator verschijnt een kwestie van delen (bijvoorbeeld 3 keer per dag = 24 uur gedeeld door 8-uursintervallen). Als het aankomt op navigeren, dan vereist dat behoorlijk ingewikkelde, zogenaamde bestekberekeningen – ‘gegist bestek’ in zeemanstermen.

Dit zijn behoorlijke harde criteria. Ik zou (a) willen verfijnen om te vragen in welke mate een dier van een bepaalde verzameling kan abstraheren naar een nieuwe verzameling. Met andere woorden, kan een dier beoordelen of verzamelingen van verschillende soorten objecten even groot zijn of niet? Kan een dier opmerken dat een verzameling geluiden dezelfde numerositeit heeft als een verzameling prooien? Andere soorten, en sommige mensen, zijn misschien in staat numerositeit op slechts een paar soorten objecten toe te passen, misschien wel op alleen die, die van levensbelang zijn, en niet op andere dingen. Mogelijk zijn ze niet in staat te zeggen of een verzameling van een bepaald soort objecten, bloemblaadjes bijvoorbeeld, dezelfde numerositeit heeft als andere soorten objecten, bijvoorbeeld oriëntatiepunten in het landschap, zoals ik hierna nog zal proberen uit te leggen.

Gallistels twee criteria weerspiegelen het huidige filosofische denken over de basis van het rekenen. Ook weerspiegelen ze hoe het rekenen overal ter wereld gewoonlijk wordt onderwezen: de 1–1-telling van verzamelingen objecten, om ervoor te zorgen dat optellen niet afhankelijk is van de aard van de objecten (abstractie), om vervolgens verder te werken met de rekenkundige gevolgen van de operaties die op verzamelingen worden toegepast: vergelijken, combineren en toevoegen, het splitsen van verzamelingen, aftrekken enzovoorts.

WAT IS TELLEN?

De meeste lezers van dit boek zullen tellen, als ze tenminste ooit over tellen denken, als een bezigheid beschouwen die opzettelijk is, moedwillig, bewust en gewoonlijk gepaard gaande met het gebruik van telwoorden. Een bedoeling en doel van deze bezigheid is het bepalen van de numerositeit van een verzameling. Deze kenschets sluit bij voorbaat elk niet-menselijk tellen uit, en zoals we in het volgende hoofdstuk zullen zien, deels ook menselijk tellen. Geen ander schepsel heeft telwoorden – afgezien van papegaai Alex, die in hoofdstuk 6 over vogels optreedt – en het toeschrijven van bedoelingen, moedwil of bewustzijn aan niet-mensen is op zijn minst controversieel. We zijn misschien nog wel bereid ze toe te schrijven aan mensapen of honden, maar aan vissen of insecten? In geen geval.

Stel dat je het aantal poppen dat op tafel ligt moet tellen en dat doe je hardop: één, twee, drie poppen. Dit stelt je in staat de omvang van de verzameling poppen op tafel te bepalen: drie. In hun baanbrekende werk The Child’s Understanding of Number (1978) hebben Rochel Gelman en Randy Gallistel de ‘telprincipes’ op een rijtje gezet die kenmerkend zijn voor het menselijk tellen.⁵ Volgens het ‘kardinaliteitsprincipe’ geeft het proces van het tellen de kardinaliteit van de verzameling met het laatste woord van het telproces, aangenomen natuurlijk dat alle objecten worden geteld en elk object niet meer en niet minder dan één keer (de 1–1-telling). Dat wil zeggen dat er een strikte één-op-één-correspondentie bestaat tussen de telwoorden en de objecten in de verzameling. Ook merken de auteurs op dat het, om een idee te krijgen van de omvang van de verzameling, niet uitmaakt met welk van de objecten je begint te tellen: de omvang zal altijd hetzelfde zijn. Dus voor de verzameling van de drie objecten A, B en C maakt het niet uit of je met A, B of C begint, want je zult altijd eindigen met de numerositeit drie. Dit noemen zij het ‘principe van volgorde-irrelevantie’. Ten slotte merken ze op dat verzamelingen van alles kunnen omvatten: drie poppen, drie plonzen of drie wensen. Dit noemen ze het ‘abstractieprincipe’. Deze principes moeten mensen beheersen om competente tellers te zijn die telwoorden gebruiken. Ze brengen de culturele instrumenten – telwoorden – samen met het concept van de grootte van een verzameling. In het volgende hoofdstuk zal ik ingaan op hoe kinderen leren tellen met telwoorden.

Denk nu eens na over een manier om de elementen van een verzameling te tellen zonder telwoorden te hoeven gebruiken, namelijk door een heel eenvoudig en goedkoop apparaatje ter hand te nemen, de handteller of ‘klikker’ (zie afb. 1). Je drukt de knop bovenop voor ieder te tellen object één keer in – het principe van de een-op-een-correspondentie. Het totaal van de telling verschijnt op de teller bij de laatste keer indrukken van het knopje, het kardinaliteitsprincipe. Je kunt alles tellen wat telbaar is (het abstractieprincipe) en je kunt de verzameling tellen door te beginnen met willekeurig welk element (het principe van volgorde-irrelevantie).

Afb. 1 Mechanische handteller

Om een handteller te gebruiken, moet een persoon zelf ook tellen. Dat is het moeilijke deel. Stel dat je een herder bent die zijn schapen wil tellen, maar niet zijn geiten. Dan moet je wel kunnen beslissen welk dier het ene is en welk het andere. Stel dat je dan moet vaststellen of je meer schapen hebt dan geiten; je zult de geiten met een andere teller moeten tellen en dan op het schermpje kijken om te zien welk getal het grootst is. De tellers hebben een geheugen – de cijfers achter het schermpje – waarmee het aantal getelde objecten wordt aangeduid. Natuurlijk kun je dezelfde teller twee keer gebruiken, een keer voor de schapen en dan nog een keer voor de geiten, maar dan moet je een apart geheugen hebben voor de schapen, de teller op nul zetten en opnieuw beginnen te tellen, ditmaal de geiten. In beide gevallen heb je ook een instrument nodig om de vergelijking uit te voeren. Hoe dit werkt, zal ik zo laten zien.

De Engelse filosoof John Locke (1632-1704) deed een vroege poging om getal en tellen te kenschetsen op een wijze die vooruitloopt op onze teller in An essay concerning human understanding (1690). Volgens hem is het eenvoudigste idee één; één kan worden herhaald, ‘en door herhalingen bij elkaar op te tellen’ – zoals het herhalen van het drukken op de knop – krijgen we het ingewikkelde idee van grotere getallen. ‘Dus door één bij één op te tellen, krijgen we het complexe idee van een paar,’ enzovoorts.⁶

Dit is een voorbeeld van recursie, een procedure of functie die oproept om hetzelfde nog een keer te doen. Locke stelt een bepaalde vorm van recursie voor, de staartrecursie, waar een procedure het laatste item genereert (de staart) door één erbij op te tellen en zichzelf dan aanroept om de procedure opnieuw uit te voeren, waardoor er nog één bij wordt opgeteld.

Over telwoorden zegt Locke dat we elk complex idee ‘een naam of teken’ moeten geven, ‘waarmee we het kunnen onderscheiden van die, die ervoor en erna komen’. Je kunt de teller beschouwen als een uitvoering van Lockes gedachte. Elke keer de knop indrukken is een herhaling van één en de som van de keren indrukken wordt gegeven door een ‘teken’, in dit geval een resultaat in cijfervorm.

Het andere probleem is de mate van abstractie die betrokken is bij tellen en getallen. Om vijf uur slaat de Big Ben vijf keer en we hebben aan iedere hand vijf vingers, maar geluiden en vingers hebben niets gemeenschappelijks. Dus hoe kunnen hersenen, zelfs heel kleine, dit idee van abstractie inzetten en hoe komen wij erachter dat ze dat doen? We kunnen mensen vragen hardop te tellen of ons te vertellen of het aantal slagen van de klok hetzelfde is als het aantal vingers, maar dat kunnen we bij vissen niet doen. In welke mate kunnen andere schepsels de numerositeit in de ene modaliteit – geluiden bijvoorbeeld – generaliseren tot numerositeiten in andere modaliteiten – zichtbare voorwerpen, handelingen enzovoorts? Dit is eerder een zaak van een selector dan van de teller. Hoewel ik deze component deze speciale naam gegeven heb, is hij in werkelijkheid gebaseerd op wijdverspreide ideeën in de cognitie- en de neurowetenschap. Het is een manier om zich te richten op of aandacht te besteden aan een object of gebeurtenis. Het selectieproces hoeft niet bewust te zijn of zelfs maar opzettelijk, wat overigens controversiële concepten zijn als ze worden toegepast op andere dieren dan mensen. De selector kiest slechts een of meer objecten uit de omgeving voor verdere actie.⁷ We kunnen een enkele handteller gebruiken om de slagen van de klok en de vingers aan een hand te tellen, zolang die klikker maar twee geheugenplaatsen ter beschikking heeft.

EEN NEURAAL TELMECHANISME

Natuurlijk hebben we geen handtellers in ons hoofd, maar hebben we dan misschien een neuraal equivalent? De handteller is een lineaire accumulator met geheugen. Dat wil zeggen dat de inhoud van de accumulator, deze opteller, strikt evenredig is met het aantal getelde objecten.

Dat ons brein een dergelijk mechanisme zou bevatten, is een oud idee dat feitelijk afkomstig is van het werken met dieren. Hetzelfde telmechanisme kan ook tijdsduur meten, en dat is nodig als dieren de snelheid of frequentie van gebeurtenissen moeten berekenen.⁸

Voor dit accumulatiesysteem zijn drie componenten en een proces noodzakelijk:

• Een interne generator, zoals een oscillator of pacemaker, waarvan het brein er vele bezit, die met regelmatige intervallen pulsen naar een accumulator stuurt.

• Een normalisatieproces dat alle objecten of gebeurtenissen als gelijkwaardig behandelt.

• Een poort om de overdracht te controleren van de pulsen tussen generator en de accumulator.

• Een accumulator die de pulsen tijdelijk opslaat.

Buiten deze componenten moet het accumulatiesysteem ook een werkgeheugen hebben om de resultaten van de lopende telling in op te slaan, en een referentiegeheugen voor toekomstig gebruik. Als we even teruggaan naar onze herder: het aantal schapen wordt overgebracht naar het referentiegeheugen en de lopende telling van de geiten naar het werkgeheugen. Afb. 2 is een manier om de accumulator voor te stellen.

Afb. 2. Dit is de eerste versie van het model van de dierpsychologen Warren Meck en Russell Church.⁹ Zij gebruikten de termen ‘pacemaker’ en ‘poort’ voor genormaliseerde objecten of gebeurtenissen door toe te staan dat een vastgesteld aantal pulsen voor ieder object of gebeurtenis doorgaat naar de accumulator. Hier laat ik elk object zien als twee pulsen. Om combinatorische operaties uit te voeren die het equivalent zijn van rekenen moet er een ‘werkgeheugen’ zijn om de toestand van de accumulator tijdelijk in op te slaan, en een ‘referentiegeheugen’ om de operaties, inclusief vergelijken, te kunnen uitvoeren (<, >, =, +, –, ×, :).

Er is, zoals ik opmerkte, nog een component die neuraal veel kostbaarder is: de selector. Deze kiest de objecten die geteld moeten worden, zoals de schapen en niet de geiten. Ook moet er een mechanisme zijn om die ‘combinatorische operaties’ uit te voeren. Dat is bijvoorbeeld een combinatorische operator om te besluiten of de verzameling schapen groter is dan de verzameling geiten (isomorf aan, dat wil zeggen van dezelfde structuur als <, > of =), of wat het totaal aantal schapen plus geiten is (optelling), of hoeveel schapen er precies meer zijn dan geiten (aftrekking).

Meck en Church stelden voor dat hetzelfde accumulatiemechanisme ook gebruikt zou kunnen worden in continumodus om tijdsduur te meten. De poort wordt opengehouden voor de duur van de gebeurtenis, zodat de inhoud van de accumulator recht evenredig is met de duur. Numerositeiten en gebeurtenissen worden dus op dezelfde manier gecodeerd als de inhoud van de accumulator, en continue kwantiteiten als duur worden op dezelfde wijze gecodeerd als een bepaald niveau in de accumulator. Omdat numerositeit en duur worden gecodeerd in een ‘overeenkomstige munt’, het accumulatorniveau, is het mogelijk parameters te berekenen die belangrijk zijn voor het organisme, zoals de mate of de waarschijnlijkheid dat zich een bepaalde gebeurtenis (duur/aantal) voordoet.

Dit is een heel eenvoudig instrument, net als de handteller, en voor de implementatie zijn slechts weinig neuronen nodig, zoals we zullen zien als ik ben aanbeland bij de rekencapaciteiten van insecten en spinnen, die heel kleine hersenen hebben (nog geen miljoen neuronen, vergeleken met onze 85+ miljard). Het kostbare element in het systeem is de selector, zoals in het voorbeeld van de schapen en de geiten. De selector moet ook besluiten of het object iets anders is dan een schaap of geit en of het wel een enkel object is (en bijvoorbeeld niet moeder schaap met een lam aan de uier).

De lineaire accumulator heeft verscheidene aantrekkelijke kenmerken. Hij voldoet aan de drie telprincipes van Gelman en Gallistel: abstractie (alles wat door de selector kan worden geïdentificeerd, kan worden geteld), volgorde-irrelevantie (het maakt niet uit welk object het eerst wordt geteld, welk als tweede enzovoorts), en kardinaliteit (het laatste, hoogste niveau van de accumulator is het totaal van de telling).¹⁰

Accumulatoren voldoen ook aan het tweede criterium van Gallistel – de weergave van een getal –, namelijk dat operaties op accumulatoren of op geheugens isomorf zijn aan rekenkundige operaties: het vergelijken van niveaus van twee of meer accumulatoren of van het referentie- en het werkgeheugen (=, <, >); combineren is de lineaire som van de accumulaties (+); en aftrekken is het lineaire resultaat van het afhalen van de ene accumulator van de andere (-). Delen en vermenigvuldigen gaan meedoen wanneer maten of waarschijnlijkheden worden berekend , waarvan we zullen zien dat dieren dat kunnen. ¹¹

EEN ALTERNATIEVE VISIE

Hoewel veel wetenschappers wel een versie van de accumulatietheorie onderschrijven, wordt door de populairste benadering in de wetenschappelijke literatuur over numerieke basisvermogens bij mensen en andere dieren gesteld dat er twee gescheiden systemen zijn, een voor kleine numerositeiten (≤ 4) en een voor grotere numerositeiten (> 4).¹² In dit idee met twee systemen wordt van het eerste verondersteld dat het een perceptueel systeem is, bestemd voor het volgen van objecten en ze kort te onthouden, dat ‘object tracking system’ (OTS) wordt genoemd. De beperking tot vier objecten komt overeen met het aantal objecten waar men te allen tijde tegelijk aandacht aan kan besteden en het ermee corresponderende werkgeheugen, alsmede de grens van de numerositeit van objecten die accuraat en snel kunnen worden geïdentificeerd zonder te tellen. Aangenomen wordt dat dit mechanisme opereert met ‘parallelle individuatie’ van de objecten van deze kleine verzameling; dat wil zeggen dat het niet de objecten stuk voor stuk scant en ze dan toevoegt aan een tijdelijke opslag, maar ze allemaal in één keer overziet. Dit wordt ook wel subitizing, ‘subiteren’, genoemd (van het Latijnse subitus, ‘plotseling’) en houdt in dat het zo makkelijk en snel de numerositeiten van alle verzamelingen van één tot vier elementen kunnen worden herkend.¹³

Het tweede systeem voor numerositeiten groter dan vier wordt wel het ‘analogue magnitude system’ genoemd of het ‘approximate number system’ (ANS). De kenmerken van dit systeem zijn ten eerste dat de mentale weergave van een numerositeit bij benadering is, zodat bijvoorbeeld de weergave van vijf objecten in mindere mate ook voorstellingen bevat van vier en zes, en in nog mindere mate van drie en zeven. Ten tweede zijn de weergaven logaritmen van de numerositeiten.

Deze alternatieve benadering is van verschillende kanten aangevallen. De aanname dat er twee gescheiden systemen zijn, is herhaaldelijk ter discussie gesteld. Zo bleek de reactietijd om het aantal objecten te noemen in de subiterende reeks (≤ 4) afhankelijk van het aantal. Het is niet zomaar de ‘plotselinge’ herkenning van een numerositeit van één tot en met vier; eerder is het een toename in tijd om de numerositeiten te herkennen van willekeurig verspreide stippen die kort worden getoond: een toename van 30 milliseconde van één naar twee, 80 milliseconde van twee naar drie, 200 milliseconde van drie naar vier, en daarboven een toename van 300+ milliseconde per object. ¹⁴ Dit betekent dat de reactietijd kan worden weergegeven in één curve die consistent is met één enkel mechanisme.¹⁵ Er zijn zelfs aanwijzingen bij apen (hoofdstuk 4) en mensen van een continuïteit van numerositeiten van de reeks kleine getallen tot dertig toe.¹⁶

Het andere argument tegen een afzonderlijk subiterend mechanisme is dat niemand ooit aparte activiteiten in de hersenen heeft waargenomen, en we hebben echt geprobeerd ze te vinden in de pariëtale kwabben.¹⁷ Dat was twintig jaar geleden, maar uit recent onderzoek met veel preciezere hoge resolutie-scanapparatuur en betere analyse-instrumenten is gebleken dat activeringen voor alle numerositeiten van één tot negen verspreid lagen in dezelfde hersengebieden, niet alleen in de pariëtale kwabben, maar ook in de occipitale (visuele) en in de frontale schors.¹⁸ Dit betekent niet dat er geen neurale verschillen zijn, alleen dat ze nog geïdentificeerd moeten worden, wat weleens heel moeilijk zou kunnen zijn, aangezien onze allersterkste beeldvormende apparatuur misschien nog steeds te grof is om de verschillen te kunnen constateren.

De andere belangrijke claim voor het ans is dat de innerlijke weergaven logaritmen zijn van de numerositeiten. Elizabeth Brannon en Dustin Merritt wijzen erop dat deze twee modellen ‘dezelfde gedragskenmerken voorspellen’ bij taken die het ordenen van numerositeiten betreffen, bijvoorbeeld in het kiezen van wat groter is en wat kleiner, aangezien ‘de ruis’ (de variabiliteit) van de weergaven overeenkomt. ‘Om adequaat het logaritmische en lineaire te scheiden met gebruikmaking van hypothesen over scalaire variabiliteit is het noodzakelijk een taak op te dragen die van subjecten vereist hun gedrag te baseren op het verschil tussen twee punten op een continuüm,’ aldus de auteurs.¹⁹

Brannon en haar collega’s gebruikten dit principe in een onderzoek bij duiven. Hun uitkomsten komen overeen met een lineaire innerlijke weergave.²⁰ In een studie onder mensen hebben Slava Karolis, Teresa Iuculano en ik de verschillen tussen getallen op een schaal tot 100 gebruikt en ook wij hebben aanwijzingen gevonden die het bestaan van een innerlijke lineaire schaal ondersteunen.²¹

Het andere probleem van logaritmen is natuurlijk dat het erg moeilijk is om eenvoudig lineair op te tellen en af te trekken zonder antilogaritmetafel, aangezien log(a) + log(b) = log(ab). Zoals we in latere hoofdstukken nog zullen zien is er duidelijk bewijs dat veel dieren kunnen optellen en aftrekken. Hebben dieren – waaronder wij – een antilogaritmetafel in hun hoofd?

Nu is het zeker waar dat het erop lijkt dat volwassenen maar vooral ook kinderen een mentale logaritmische getallenlijn hebben, aangezien grote aantallen worden onderschat en daarom samengeperst, terwijl kleine aantallen worden overschat en dus uitgerekt.²² Dit samenpersen betekent echter nog niet dat de mentale schaal logaritmisch is. Het is dan ook al meer dan honderd jaar bekend dat onze inschattingen van allerlei dingen een ‘hoofdneiging’ hebben kleine waarden te overschatten en grote te onderschatten zonder dat we een logaritmische weergave van de schaal in ons hoofd hebben.²³